Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(2*x)-cos(x)

Gráfico de la función y = sin(2*x)-cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(2*x) - cos(x)
f(x)=sin⁡(2x)−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} 
f = sin(2*x) - cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2x)−cos⁡(x)=0\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=5π6x_{4} = \frac{5 \pi}{6}
Solución numérica
x1=−64.4026493985908x_{1} = -64.4026493985908
x2=−12.0427718387609x_{2} = -12.0427718387609
x3=−23.5619449019235x_{3} = -23.5619449019235
x4=44.5058959258554x_{4} = 44.5058959258554
x5=−29.845130209103x_{5} = -29.845130209103
x6=42.4115008234622x_{6} = 42.4115008234622
x7=4.71238898038469x_{7} = 4.71238898038469
x8=−22.5147473507269x_{8} = -22.5147473507269
x9=36.1283155162826x_{9} = 36.1283155162826
x10=34.0339204138894x_{10} = 34.0339204138894
x11=23.5619449019235x_{11} = 23.5619449019235
x12=−17.2787595947439x_{12} = -17.2787595947439
x13=−5.75958653158129x_{13} = -5.75958653158129
x14=65.4498469497874x_{14} = 65.4498469497874
x15=−80.1106126665397x_{15} = -80.1106126665397
x16=86.3937979737193x_{16} = 86.3937979737193
x17=64.4026493985908x_{17} = 64.4026493985908
x18=−83.2522053201295x_{18} = -83.2522053201295
x19=−95.8185759344887x_{19} = -95.8185759344887
x20=50.789081233035x_{20} = 50.789081233035
x21=−1.5707963267949x_{21} = -1.5707963267949
x22=71.733032256967x_{22} = 71.733032256967
x23=−60.2138591938044x_{23} = -60.2138591938044
x24=−81.1578102177363x_{24} = -81.1578102177363
x25=−72.7802298081635x_{25} = -72.7802298081635
x26=73.8274273593601x_{26} = 73.8274273593601
x27=31.9395253114962x_{27} = 31.9395253114962
x28=−39.2699081698724x_{28} = -39.2699081698724
x29=67.5442420521806x_{29} = 67.5442420521806
x30=78.0162175641465x_{30} = 78.0162175641465
x31=84.2994028713261x_{31} = 84.2994028713261
x32=−93.7241808320955x_{32} = -93.7241808320955
x33=−3.66519142918809x_{33} = -3.66519142918809
x34=−66.497044500984x_{34} = -66.497044500984
x35=−42.4115008234622x_{35} = -42.4115008234622
x36=−56.025068989018x_{36} = -56.025068989018
x37=−51.8362787842316x_{37} = -51.8362787842316
x38=58.1194640914112x_{38} = 58.1194640914112
x39=−87.4409955249159x_{39} = -87.4409955249159
x40=−73.8274273593601x_{40} = -73.8274273593601
x41=51.8362787842316x_{41} = 51.8362787842316
x42=29.845130209103x_{42} = 29.845130209103
x43=27.7507351067098x_{43} = 27.7507351067098
x44=−45.553093477052x_{44} = -45.553093477052
x45=75.9218224617533x_{45} = 75.9218224617533
x46=102.101761241668x_{46} = 102.101761241668
x47=80.1106126665397x_{47} = 80.1106126665397
x48=−58.1194640914112x_{48} = -58.1194640914112
x49=−49.7418836818384x_{49} = -49.7418836818384
x50=−36.1283155162826x_{50} = -36.1283155162826
x51=−100.007366139275x_{51} = -100.007366139275
x52=−9.94837673636768x_{52} = -9.94837673636768
x53=−97.9129710368819x_{53} = -97.9129710368819
x54=38.2227106186758x_{54} = 38.2227106186758
x55=−67.5442420521806x_{55} = -67.5442420521806
x56=0.523598775598299x_{56} = 0.523598775598299
x57=−43.4586983746588x_{57} = -43.4586983746588
x58=−7.85398163397448x_{58} = -7.85398163397448
x59=48.6946861306418x_{59} = 48.6946861306418
x60=82.2050077689329x_{60} = 82.2050077689329
x61=7.85398163397448x_{61} = 7.85398163397448
x62=−14.1371669411541x_{62} = -14.1371669411541
x63=−53.9306738866248x_{63} = -53.9306738866248
x64=−2937.91272988205x_{64} = -2937.91272988205
x65=−4.71238898038469x_{65} = -4.71238898038469
x66=−91.6297857297023x_{66} = -91.6297857297023
x67=14.1371669411541x_{67} = 14.1371669411541
x68=−16.2315620435473x_{68} = -16.2315620435473
x69=57.0722665402146x_{69} = 57.0722665402146
x70=40.317105721069x_{70} = 40.317105721069
x71=−37.1755130674792x_{71} = -37.1755130674792
x72=20.4203522483337x_{72} = 20.4203522483337
x73=95.8185759344887x_{73} = 95.8185759344887
x74=−89.5353906273091x_{74} = -89.5353906273091
x75=−47.6474885794452x_{75} = -47.6474885794452
x76=6.80678408277789x_{76} = 6.80678408277789
x77=92.6769832808989x_{77} = 92.6769832808989
x78=94.7713783832921x_{78} = 94.7713783832921
x79=88.4881930761125x_{79} = 88.4881930761125
x80=21.4675497995303x_{80} = 21.4675497995303
x81=−20.4203522483337x_{81} = -20.4203522483337
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(2*x) - cos(x).
−cos⁡(0)+sin⁡(0⋅2)- \cos{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)+2cos⁡(2x)=0\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−215−338+i(1+33)8)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} + \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x2=−ilog⁡(215−338+i(1+33)8)x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} + \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x3=−ilog⁡(−233+158+i(1−33)8)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} + \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(233+158+i(1−33)8)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} + \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
       /           _____________                 \       /     /           _____________                 \\      /       /           _____________                 \\ 
       |    ___   /        ____      /      ____\|       |     |    ___   /        ____      /      ____\||      |       |    ___   /        ____      /      ____\|| 
       |  \/ 2 *\/  15 - \/ 33     I*\1 + \/ 33 /|       |     |  \/ 2 *\/  15 - \/ 33     I*\1 + \/ 33 /||      |       |  \/ 2 *\/  15 - \/ 33     I*\1 + \/ 33 /|| 
(-I*log|- ---------------------- + --------------|, - cos|I*log|- ---------------------- + --------------|| - sin|2*I*log|- ---------------------- + --------------||)
       \            8                    8       /       \     \            8                    8       //      \       \            8                    8       // 

       /                          _____________\       /     /                          _____________\\      /       /                          _____________\\ 
       |  /      ____\     ___   /        ____ |       |     |  /      ____\     ___   /        ____ ||      |       |  /      ____\     ___   /        ____ || 
       |I*\1 + \/ 33 /   \/ 2 *\/  15 - \/ 33  |       |     |I*\1 + \/ 33 /   \/ 2 *\/  15 - \/ 33  ||      |       |I*\1 + \/ 33 /   \/ 2 *\/  15 - \/ 33  || 
(-I*log|-------------- + ----------------------|, - cos|I*log|-------------- + ----------------------|| - sin|2*I*log|-------------- + ----------------------||)
       \      8                    8           /       \     \      8                    8           //      \       \      8                    8           // 

       /           _____________                 \       /     /           _____________                 \\      /       /           _____________                 \\ 
       |    ___   /        ____      /      ____\|       |     |    ___   /        ____      /      ____\||      |       |    ___   /        ____      /      ____\|| 
       |  \/ 2 *\/  15 + \/ 33     I*\1 - \/ 33 /|       |     |  \/ 2 *\/  15 + \/ 33     I*\1 - \/ 33 /||      |       |  \/ 2 *\/  15 + \/ 33     I*\1 - \/ 33 /|| 
(-I*log|- ---------------------- + --------------|, - cos|I*log|- ---------------------- + --------------|| - sin|2*I*log|- ---------------------- + --------------||)
       \            8                    8       /       \     \            8                    8       //      \       \            8                    8       // 

       /                          _____________\       /     /                          _____________\\      /       /                          _____________\\ 
       |  /      ____\     ___   /        ____ |       |     |  /      ____\     ___   /        ____ ||      |       |  /      ____\     ___   /        ____ || 
       |I*\1 - \/ 33 /   \/ 2 *\/  15 + \/ 33  |       |     |I*\1 - \/ 33 /   \/ 2 *\/  15 + \/ 33  ||      |       |I*\1 - \/ 33 /   \/ 2 *\/  15 + \/ 33  || 
(-I*log|-------------- + ----------------------|, - cos|I*log|-------------- + ----------------------|| - sin|2*I*log|-------------- + ----------------------||)
       \      8                    8           /       \     \      8                    8           //      \       \      8                    8           //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π−atan⁡(2(1+33)215−33)x_{1} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}
x2=atan⁡(2(1−33)233+15)x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}
Puntos máximos de la función:
x2=atan⁡(2(1+33)215−33)x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}
x2=−π−atan⁡(2(1−33)233+15)x_{2} = - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}
Decrece en los intervalos
[π−atan⁡(2(1+33)215−33),∞)\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,atan⁡(2(1−33)233+15)]∪[atan⁡(2(1+33)215−33),π−atan⁡(2(1+33)215−33)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4sin⁡(2x)+cos⁡(x)=0- 4 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−ilog⁡(−378+i8)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{3 \sqrt{7}}{8} + \frac{i}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(378+i8)x_{4} = - i \log{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{8} + \frac{i}{8} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,atan⁡(721)]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{21} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)−cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)−cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x) - cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(2x)−cos⁡(x)=−sin⁡(2x)−cos⁡(x)\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
sin⁡(2x)−cos⁡(x)=sin⁡(2x)+cos⁡(x)\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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