Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(1/x^2)

Gráfico de la función y = sin(1/x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /1 \
f(x) = sin|--|
          | 2|
          \x /
f(x)=sin⁡(1x2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} 
f = sin(1/(x^2))
Gráfico de la función
-0.10-0.08-0.06-0.04-0.020.100.000.020.040.060.082-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(1x2)=0\sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1πx_{1} = - \frac{1}{\sqrt{\pi}}
x2=1πx_{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}
Solución numérica
x1=−0.564189583547756x_{1} = -0.564189583547756
x2=0.564189583547756x_{2} = 0.564189583547756
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(1/(x^2)).
sin⁡(102)\sin{\left(\frac{1}{0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2cos⁡(1x2)x3=0- \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2πx_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}
x2=2πx_{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}
x3=−63πx_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{\pi}}
x4=63πx_{4} = \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{\pi}}
Signos de extremos en los puntos:
    ___     
 -\/ 2      
(-------, 1)
    ____    
  \/ pi     

   ___     
 \/ 2      
(------, 1)
   ____    
 \/ pi     

    ___       
 -\/ 6        
(--------, -1)
     ____     
 3*\/ pi      

    ___       
  \/ 6        
(--------, -1)
     ____     
 3*\/ pi


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−63πx_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{\pi}}
x2=63πx_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{\pi}}
Puntos máximos de la función:
x2=−2πx_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}
x2=2πx_{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}
Decrece en los intervalos
[63π,∞)\left[\frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{\pi}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−63π]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3 \sqrt{\pi}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3cos⁡(1x2)−2sin⁡(1x2)x2)x4=0\frac{2 \left(3 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} - \frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=10702.3423774717x_{1} = 10702.3423774717
x2=3069.92694901996x_{2} = 3069.92694901996
x3=2415.73374301764x_{3} = 2415.73374301764
x4=4596.39823927427x_{4} = 4596.39823927427
x5=−4562.62928609512x_{5} = -4562.62928609512
x6=−5652.97272946335x_{6} = -5652.97272946335
x7=−4126.49310359961x_{7} = -4126.49310359961
x8=10484.2724912542x_{8} = 10484.2724912542
x9=6777.08786469447x_{9} = 6777.08786469447
x10=−8051.73579969684x_{10} = -8051.73579969684
x11=−2163.90438135298x_{11} = -2163.90438135298
x12=8303.57463429739x_{12} = 8303.57463429739
x13=−9142.0843145601x_{13} = -9142.0843145601
x14=2633.79706576263x_{14} = 2633.79706576263
x15=1979.61248356285x_{15} = 1979.61248356285
x16=−9578.2238904633x_{16} = -9578.2238904633
x17=7867.43536259099x_{17} = 7867.43536259099
x18=4814.46666642164x_{18} = 4814.46666642164
x19=−10014.363544191x_{19} = -10014.363544191
x20=−10668.5731495736x_{20} = -10668.5731495736
x21=−6743.3187275313x_{21} = -6743.3187275313
x22=−6961.38812493987x_{22} = -6961.38812493987
x23=1761.55620906646x_{23} = 1761.55620906646
x24=−7179.45757389933x_{24} = -7179.45757389933
x25=−8924.01455941197x_{25} = -8924.01455941197
x26=−10450.5032658792x_{26} = -10450.5032658792
x27=−2381.96579577486x_{27} = -2381.96579577486
x28=8739.71402615597x_{28} = 8739.71402615597
x29=2851.86156089103x_{29} = 2851.86156089103
x30=−6089.1109016622x_{30} = -6089.1109016622
x31=−10232.4333970898x_{31} = -10232.4333970898
x32=6995.15727149911x_{32} = 6995.15727149911
x33=6340.94922466401x_{33} = 6340.94922466401
x34=8957.78376157006x_{34} = 8957.78376157006
x35=−6525.24938698441x_{35} = -6525.24938698441
x36=5686.74180169541x_{36} = 5686.74180169541
x37=10266.2026197772x_{37} = 10266.2026197772
x38=−3254.22442521444x_{38} = -3254.22442521444
x39=5250.60398583514x_{39} = 5250.60398583514
x40=−1509.73959988658x_{40} = -1509.73959988658
x41=3506.05967274515x_{41} = 3506.05967274515
x42=7213.2267289959x_{42} = 7213.2267289959
x43=−7615.59660835466x_{43} = -7615.59660835466
x44=−5434.90378523417x_{44} = -5434.90378523417
x45=4378.32999978447x_{45} = 4378.32999978447
x46=−1727.78973874651x_{46} = -1727.78973874651
x47=−9796.29370825741x_{47} = -9796.29370825741
x48=9611.99310394654x_{48} = 9611.99310394654
x49=−3036.15844922012x_{49} = -3036.15844922012
x50=8085.50498218783x_{50} = 8085.50498218783
x51=5468.67283943413x_{51} = 5468.67283943413
x52=3287.99303372472x_{52} = 3287.99303372472
x53=−3908.42539033376x_{53} = -3908.42539033376
x54=−7833.6661860865x_{54} = -7833.6661860865
x55=−8487.87512328877x_{55} = -8487.87512328877
x56=10048.1327640118x_{56} = 10048.1327640118
x57=9830.06292501622x_{57} = 9830.06292501622
x58=5904.81086014858x_{58} = 5904.81086014858
x59=−9360.1540920941x_{59} = -9360.1540920941
x60=10920.4122775373x_{60} = 10920.4122775373
x61=1543.50496729006x_{61} = 1543.50496729006
x62=−2818.09319879979x_{62} = -2818.09319879979
x63=9175.85352076732x_{63} = 9175.85352076732
x64=3724.1267604284x_{64} = 3724.1267604284
x65=6122.88000417272x_{65} = 6122.88000417272
x66=8521.64431638033x_{66} = 8521.64431638033
x67=−2600.02888188673x_{67} = -2600.02888188673
x68=−1945.84532225302x_{68} = -1945.84532225302
x69=−5871.04177191111x_{69} = -5871.04177191111
x70=−4998.76624511145x_{70} = -4998.76624511145
x71=9393.92330206777x_{71} = 9393.92330206777
x72=−4344.5610822926x_{72} = -4344.5610822926
x73=7431.29623262045x_{73} = 7431.29623262045
x74=7649.36577834277x_{74} = 7649.36577834277
x75=−8705.94482835877x_{75} = -8705.94482835877
x76=−3690.35799319004x_{76} = -3690.35799319004
x77=2197.67200440884x_{77} = 2197.67200440884
x78=5032.53525564251x_{78} = 5032.53525564251
x79=−7397.52706974333x_{79} = -7397.52706974333
x80=4160.26197928796x_{80} = 4160.26197928796
x81=−5216.83495205405x_{81} = -5216.83495205405
x82=6559.01851377295x_{82} = 6559.01851377295
x83=3942.1942166025x_{83} = 3942.1942166025
x84=−8269.80544629367x_{84} = -8269.80544629367
x85=−4780.69768252548x_{85} = -4780.69768252548
x86=−3472.29097684876x_{86} = -3472.29097684876
x87=−10886.6430472673x_{87} = -10886.6430472673
x88=−6307.18010937025x_{88} = -6307.18010937025
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(1x2)=0\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞sin⁡(1x2)=0\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(1/(x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(1x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(1x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(1x2)=sin⁡(1x2)\sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}
- Sí
sin⁡(1x2)=−sin⁡(1x2)\sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = - \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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