Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (9*log(1-2*x))/((4*atan(3*x)))

Gráfico de la función y = (9*log(1-2*x))/((4*atan(3*x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       9*log(1 - 2*x)
f(x) = --------------
        4*atan(3*x)
f(x)=9log⁡(1−2x)4atan⁡(3x)f{\left(x \right)} = \frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}} 
f = (9*log(1 - 2*x))/((4*atan(3*x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-10
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
9log⁡(1−2x)4atan⁡(3x)=0\frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (9*log(1 - 2*x))/((4*atan(3*x))).
9log⁡(1−0)4atan⁡(0⋅3)\frac{9 \log{\left(1 - 0 \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(0 \cdot 3 \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−27log⁡(1−2x)4(9x2+1)atan⁡2(3x)−1814atan⁡(3x)1−2x=0- \frac{27 \log{\left(1 - 2 x \right)}}{4 \left(9 x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}} - \frac{18 \frac{1}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}}{1 - 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9(9(3x+1atan⁡(3x))log⁡(1−2x)2(9x2+1)2atan⁡(3x)−3(2x−1)(9x2+1)atan⁡(3x)−1(2x−1)2)atan⁡(3x)=0\frac{9 \left(\frac{9 \left(3 x + \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2 \left(9 x^{2} + 1\right)^{2} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}} - \frac{3}{\left(2 x - 1\right) \left(9 x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}} - \frac{1}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right)}{\operatorname{atan}{\left(3 x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(9log⁡(1−2x)4atan⁡(3x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(9log⁡(1−2x)4atan⁡(3x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (9*log(1 - 2*x))/((4*atan(3*x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(9log⁡(1−2x)14atan⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)} \frac{1}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(9log⁡(1−2x)14atan⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)} \frac{1}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
9log⁡(1−2x)4atan⁡(3x)=−9log⁡(2x+1)4atan⁡(3x)\frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}} = - \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}
- No
9log⁡(1−2x)4atan⁡(3x)=9log⁡(2x+1)4atan⁡(3x)\frac{9 \log{\left(1 - 2 x \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}} = \frac{9 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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