Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (tan(x)*arctg(1/(x-3)))/(x(x-5))

Gráfico de la función y = (tan(x)*arctg(1/(x-3)))/(x(x-5))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  /  1  \
       tan(x)*atan|-----|
                  \x - 3/
f(x) = ------------------
           x*(x - 5)
f(x)=tan⁡(x)atan⁡(1x−3)x(x−5)f{\left(x \right)} = \frac{\tan{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 3} \right)}}{x \left(x - 5\right)} 
f = (tan(x)*atan(1/(x - 3)))/((x*(x - 5)))
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
x3=5x_{3} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡(x)atan⁡(1x−3)x(x−5)=0\frac{\tan{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 3} \right)}}{x \left(x - 5\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
Solución numérica
x1=40.8407044966673x_{1} = 40.8407044966673
x2=−18.8495559215388x_{2} = -18.8495559215388
x3=−56.5486677646163x_{3} = -56.5486677646163
x4=97.3893722612836x_{4} = 97.3893722612836
x5=34.5575191894877x_{5} = 34.5575191894877
x6=53.4070751110265x_{6} = 53.4070751110265
x7=47.1238898038469x_{7} = 47.1238898038469
x8=−97.3893722612836x_{8} = -97.3893722612836
x9=62.8318530717959x_{9} = 62.8318530717959
x10=87.9645943005142x_{10} = 87.9645943005142
x11=43.9822971502571x_{11} = 43.9822971502571
x12=37.6991118430775x_{12} = 37.6991118430775
x13=−21.9911485751286x_{13} = -21.9911485751286
x14=3.14159265358979x_{14} = 3.14159265358979
x15=65.9734457253857x_{15} = 65.9734457253857
x16=69.1150383789755x_{16} = 69.1150383789755
x17=−50.2654824574367x_{17} = -50.2654824574367
x18=−94.2477796076938x_{18} = -94.2477796076938
x19=−75.398223686155x_{19} = -75.398223686155
x20=−53.4070751110265x_{20} = -53.4070751110265
x21=12.5663706143592x_{21} = 12.5663706143592
x22=−9.42477796076938x_{22} = -9.42477796076938
x23=−34.5575191894877x_{23} = -34.5575191894877
x24=21.9911485751286x_{24} = 21.9911485751286
x25=−47.1238898038469x_{25} = -47.1238898038469
x26=−43.9822971502571x_{26} = -43.9822971502571
x27=28.2743338823081x_{27} = 28.2743338823081
x28=−31.4159265358979x_{28} = -31.4159265358979
x29=−3.14159265358979x_{29} = -3.14159265358979
x30=−6.28318530717959x_{30} = -6.28318530717959
x31=−25.1327412287183x_{31} = -25.1327412287183
x32=−62.8318530717959x_{32} = -62.8318530717959
x33=31.4159265358979x_{33} = 31.4159265358979
x34=−65.9734457253857x_{34} = -65.9734457253857
x35=72.2566310325652x_{35} = 72.2566310325652
x36=−59.6902604182061x_{36} = -59.6902604182061
x37=94.2477796076938x_{37} = 94.2477796076938
x38=81.6814089933346x_{38} = 81.6814089933346
x39=−91.106186954104x_{39} = -91.106186954104
x40=−100.530964914873x_{40} = -100.530964914873
x41=59.6902604182061x_{41} = 59.6902604182061
x42=−40.8407044966673x_{42} = -40.8407044966673
x43=91.106186954104x_{43} = 91.106186954104
x44=78.5398163397448x_{44} = 78.5398163397448
x45=−12.5663706143592x_{45} = -12.5663706143592
x46=56.5486677646163x_{46} = 56.5486677646163
x47=84.8230016469244x_{47} = 84.8230016469244
x48=100.530964914873x_{48} = 100.530964914873
x49=−69.1150383789755x_{49} = -69.1150383789755
x50=9.42477796076938x_{50} = 9.42477796076938
x51=−84.8230016469244x_{51} = -84.8230016469244
x52=−78.5398163397448x_{52} = -78.5398163397448
x53=−87.9645943005142x_{53} = -87.9645943005142
x54=−81.6814089933346x_{54} = -81.6814089933346
x55=15.707963267949x_{55} = 15.707963267949
x56=−28.2743338823081x_{56} = -28.2743338823081
x57=−15.707963267949x_{57} = -15.707963267949
x58=−37.6991118430775x_{58} = -37.6991118430775
x59=18.8495559215388x_{59} = 18.8495559215388
x60=25.1327412287183x_{60} = 25.1327412287183
x61=50.2654824574367x_{61} = 50.2654824574367
x62=−72.2566310325652x_{62} = -72.2566310325652
x63=75.398223686155x_{63} = 75.398223686155
x64=6.28318530717959x_{64} = 6.28318530717959
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (tan(x)*atan(1/(x - 3)))/((x*(x - 5))).
tan⁡(0)atan⁡(1−3)(−5)0\frac{\tan{\left(0 \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{-3} \right)}}{\left(-5\right) 0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x(x−5)((tan⁡2(x)+1)atan⁡(1x−3)−tan⁡(x)(1+1(x−3)2)(x−3)2)+(5−2x)tan⁡(x)atan⁡(1x−3)x2(x−5)2=0\frac{1}{x \left(x - 5\right)} \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 3} \right)} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) \left(x - 3\right)^{2}}\right) + \frac{\left(5 - 2 x\right) \tan{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 3} \right)}}{x^{2} \left(x - 5\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=252556.102149381x_{1} = 252556.102149381
x2=38889.0812878111x_{2} = 38889.0812878111
x3=−0.569307405479614x_{3} = -0.569307405479614
Signos de extremos en los puntos:
(252556.1021493811, 2.10648269674507e-17)

(38889.08128781109, -1.41554615257769e-14)

(-0.5693074054796143, 0.0551376543273221)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−0.569307405479614x_{1} = -0.569307405479614
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−0.569307405479614,∞)\left[-0.569307405479614, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−0.569307405479614]\left(-\infty, -0.569307405479614\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
x3=5x_{3} = 5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(tan⁡(x)atan⁡(1x−3)x(x−5))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 3} \right)}}{x \left(x - 5\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(tan⁡(x)atan⁡(1x−3)x(x−5))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 3} \right)}}{x \left(x - 5\right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (tan(x)*atan(1/(x - 3)))/((x*(x - 5))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(1x(x−5)tan⁡(x)atan⁡(1x−3)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x \left(x - 5\right)} \tan{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 3} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(1x(x−5)tan⁡(x)atan⁡(1x−3)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x \left(x - 5\right)} \tan{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 3} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡(x)atan⁡(1x−3)x(x−5)=tan⁡(x)atan⁡(1−x−3)x(−x−5)\frac{\tan{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 3} \right)}}{x \left(x - 5\right)} = \frac{\tan{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{- x - 3} \right)}}{x \left(- x - 5\right)}
- No
tan⁡(x)atan⁡(1x−3)x(x−5)=−tan⁡(x)atan⁡(1−x−3)x(−x−5)\frac{\tan{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x - 3} \right)}}{x \left(x - 5\right)} = - \frac{\tan{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{- x - 3} \right)}}{x \left(- x - 5\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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