Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x+pi/4)

Gráfico de la función y = cos(x+pi/4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\
f(x) = cos|x + --|
          \    4 /
f(x)=cos⁡(x+π4)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} 
f = cos(x + pi/4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x+π4)=0\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=5π4x_{2} = \frac{5 \pi}{4}
Solución numérica
x1=−46.3384916404494x_{1} = -46.3384916404494
x2=−90.3207887907066x_{2} = -90.3207887907066
x3=−36.9137136796801x_{3} = -36.9137136796801
x4=−77.7544181763474x_{4} = -77.7544181763474
x5=3.92699081698724x_{5} = 3.92699081698724
x6=−18.0641577581413x_{6} = -18.0641577581413
x7=−84.037603483527x_{7} = -84.037603483527
x8=−8.63937979737193x_{8} = -8.63937979737193
x9=54.1924732744239x_{9} = 54.1924732744239
x10=19.6349540849362x_{10} = 19.6349540849362
x11=1672.11268987317x_{11} = 1672.11268987317
x12=38.484510006475x_{12} = 38.484510006475
x13=−11.7809724509617x_{13} = -11.7809724509617
x14=69.9004365423729x_{14} = 69.9004365423729
x15=−87.1791961371168x_{15} = -87.1791961371168
x16=−65.1880475619882x_{16} = -65.1880475619882
x17=88.7499924639117x_{17} = 88.7499924639117
x18=22.776546738526x_{18} = 22.776546738526
x19=−1535.45340944201x_{19} = -1535.45340944201
x20=−62.0464549083984x_{20} = -62.0464549083984
x21=−2.35619449019234x_{21} = -2.35619449019234
x22=−43.1968989868597x_{22} = -43.1968989868597
x23=73.0420291959627x_{23} = 73.0420291959627
x24=−49.4800842940392x_{24} = -49.4800842940392
x25=−5.49778714378214x_{25} = -5.49778714378214
x26=57.3340659280137x_{26} = 57.3340659280137
x27=66.7588438887831x_{27} = 66.7588438887831
x28=10.2101761241668x_{28} = 10.2101761241668
x29=7.06858347057703x_{29} = 7.06858347057703
x30=60.4756585816035x_{30} = 60.4756585816035
x31=−71.4712328691678x_{31} = -71.4712328691678
x32=32.2013246992954x_{32} = 32.2013246992954
x33=−27.4889357189107x_{33} = -27.4889357189107
x34=76.1836218495525x_{34} = 76.1836218495525
x35=−96.6039740978861x_{35} = -96.6039740978861
x36=82.4668071567321x_{36} = 82.4668071567321
x37=−58.9048622548086x_{37} = -58.9048622548086
x38=44.7676953136546x_{38} = 44.7676953136546
x39=−21.2057504117311x_{39} = -21.2057504117311
x40=79.3252145031423x_{40} = 79.3252145031423
x41=−14.9225651045515x_{41} = -14.9225651045515
x42=−80.8960108299372x_{42} = -80.8960108299372
x43=63.6172512351933x_{43} = 63.6172512351933
x44=−74.6128255227576x_{44} = -74.6128255227576
x45=13.3517687777566x_{45} = 13.3517687777566
x46=−30.6305283725005x_{46} = -30.6305283725005
x47=−24.3473430653209x_{47} = -24.3473430653209
x48=16.4933614313464x_{48} = 16.4933614313464
x49=−55.7632696012188x_{49} = -55.7632696012188
x50=−93.4623814442964x_{50} = -93.4623814442964
x51=101.316363078271x_{51} = 101.316363078271
x52=85.6083998103219x_{52} = 85.6083998103219
x53=−40.0553063332699x_{53} = -40.0553063332699
x54=29.0597320457056x_{54} = 29.0597320457056
x55=0.785398163397448x_{55} = 0.785398163397448
x56=41.6261026600648x_{56} = 41.6261026600648
x57=98.174770424681x_{57} = 98.174770424681
x58=25.9181393921158x_{58} = 25.9181393921158
x59=−33.7721210260903x_{59} = -33.7721210260903
x60=47.9092879672443x_{60} = 47.9092879672443
x61=−68.329640215578x_{61} = -68.329640215578
x62=91.8915851175014x_{62} = 91.8915851175014
x63=−228.550865548657x_{63} = -228.550865548657
x64=35.3429173528852x_{64} = 35.3429173528852
x65=−99.7455667514759x_{65} = -99.7455667514759
x66=−52.621676947629x_{66} = -52.621676947629
x67=51.0508806208341x_{67} = 51.0508806208341
x68=95.0331777710912x_{68} = 95.0331777710912
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x + pi/4).
cos⁡(π4)\cos{\left(\frac{\pi}{4} \right)}
Resultado:
f(0)=22f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Punto:
(0, sqrt(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x+π4)=0- \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      /pi   pi\ 
(----, cos|-- - --|)
  4       \4    4 / 

 3*pi      /pi   pi\ 
(----, -sin|-- + --|)
  4        \4    4 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π4x_{1} = \frac{3 \pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π4,3π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x+π4)=0- \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=5π4x_{2} = \frac{5 \pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π4,5π4]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π4]∪[5π4,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x+π4)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x+π4)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x + pi/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x+π4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x+π4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x+π4)=cos⁡(x−π4)\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}
- No
cos⁡(x+π4)=−cos⁡(x−π4)\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = - \cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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