Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (cos(x))^(sin(x))

Gráfico de la función y = (cos(x))^(sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          sin(x)   
f(x) = cos      (x)
f(x)=cos⁡sin⁡(x)(x)f{\left(x \right)} = \cos^{\sin{\left(x \right)}}{\left(x \right)} 
f = cos(x)^sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)^sin(x).
cos⁡sin⁡(0)(0)\cos^{\sin{\left(0 \right)}}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(log⁡(cos⁡(x))cos⁡(x)−sin⁡2(x)cos⁡(x))cos⁡sin⁡(x)(x)=0\left(\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right) \cos^{\sin{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=31.4159267648872x_{1} = 31.4159267648872
x2=75.3982239125322x_{2} = 75.3982239125322
x3=50.2654824463325x_{3} = 50.2654824463325
x4=56.5486675902659x_{4} = 56.5486675902659
x5=25.1327409808536x_{5} = 25.1327409808536
x6=−25.1327416489743x_{6} = -25.1327416489743
x7=−69.1150388188878x_{7} = -69.1150388188878
x8=−37.699111877357x_{8} = -37.699111877357
x9=−43.9822971745456x_{9} = -43.9822971745456
x10=−87.9645943586568x_{10} = -87.9645943586568
x11=−6.28318513486229x_{11} = -6.28318513486229
x12=81.6814091791044x_{12} = 81.6814091791044
x13=−18.8495568472965x_{13} = -18.8495568472965
x14=−75.3982238924076x_{14} = -75.3982238924076
x15=−94.2477794501204x_{15} = -94.2477794501204
x16=6.28318528417339x_{16} = 6.28318528417339
x17=25.1327403527507x_{17} = 25.1327403527507
x18=−81.6814090384199x_{18} = -81.6814090384199
x19=43.9822971694585x_{19} = 43.9822971694585
x20=69.115037549188x_{20} = 69.115037549188
x21=62.8318526881155x_{21} = 62.8318526881155
x22=−56.5486675332747x_{22} = -56.5486675332747
x23=100.530964750755x_{23} = 100.530964750755
x24=18.8495555200031x_{24} = 18.8495555200031
x25=−31.4159267312883x_{25} = -31.4159267312883
x26=−18.8495560598524x_{26} = -18.8495560598524
x27=−100.530964683605x_{27} = -100.530964683605
x28=94.2477796093522x_{28} = 94.2477796093522
x29=37.6991120222873x_{29} = 37.6991120222873
x30=0x_{30} = 0
x31=69.1150379717209x_{31} = 69.1150379717209
x32=−50.265482292334x_{32} = -50.265482292334
x33=−62.8318531290925x_{33} = -62.8318531290925
x34=12.5663704295937x_{34} = 12.5663704295937
x35=87.9645943358771x_{35} = 87.9645943358771
x36=−12.5663703837492x_{36} = -12.5663703837492
Signos de extremos en los puntos:
(31.415926764887192, 1)

(75.39822391253223, 1)

(50.265482446332534, 1)

(56.548667590265914, 1)

(25.13274098085364, 1)

(-25.132741648974292, 1)

(-69.11503881888775, 1)

(-37.69911187735699, 1)

(-43.98229717454561, 1)

(-87.96459435865675, 1)

(-6.28318513486229, 1)

(81.68140917910436, 1)

(-18.84955684729649, 1)

(-75.3982238924076, 1)

(-94.24777945012039, 1)

(6.2831852841733875, 1)

(25.132740352750698, 1)

(-81.68140903841991, 1)

(43.98229716945846, 1)

(69.11503754918796, 1)

(62.83185268811547, 1)

(-56.54866753327473, 1)

(100.53096475075529, 1)

(18.84955552000305, 1)

(-31.415926731288316, 1)

(-18.84955605985241, 1)

(-100.53096468360516, 1)

(94.24777960935221, 1)

(37.69911202228734, 1)

(0, 1)

(69.11503797172092, 1)

(-50.26548229233403, 1)

(-62.8318531290925, 1)

(12.5663704295937, 1)

(87.9645943358771, 1)

(-12.566370383749202, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡sin⁡(x)(x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty} \cos^{\sin{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡sin⁡(x)(x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty} \cos^{\sin{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cos⁡sin⁡(x)(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{\sin{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cos⁡sin⁡(x)(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{\sin{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡sin⁡(x)(x)=cos⁡−sin⁡(x)(x)\cos^{\sin{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \cos^{- \sin{\left(x \right)}}{\left(x \right)}
- No
cos⁡sin⁡(x)(x)=−cos⁡−sin⁡(x)(x)\cos^{\sin{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = - \cos^{- \sin{\left(x \right)}}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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