Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*(x-4)
-
(x^3+16)/x
-
(x+2)/(x-4)
-
x^2+6*x+8
-
Expresiones idénticas
- cos(dos *x)- dos *sin(cuatro *x)
- coseno de (2 multiplicar por x) menos 2 multiplicar por seno de (4 multiplicar por x)
- coseno de (dos multiplicar por x) menos dos multiplicar por seno de (cuatro multiplicar por x)
- cos(2x)-2sin(4x)
- cos2x-2sin4x
-
Expresiones semejantes
- cos(2x)-2sin(4x)
- cos(2*x)+2*sin(4*x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos[x/3]
- cos(3)/x
- cos(2*x)-sqrt(3)/2
- cos(2*x*sqrt(2))+sin(2*x*sqrt(2))
- cos(2*x)*log(x)
- Seno sin
- sin(x)^4+cos(x)^4
- sin(x)+5*cos(x)
- sin(x)*3
- sin(x^2)/x^2
- sin(x)^1
Gráfico de la función y = cos(2*x)-2*sin(4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = cos(2*x) - 2*sin(4*x)
$$f{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
f = -2*sin(4*x) + cos(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(- \sqrt{15} + i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{6} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(\sqrt{15} + i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{- \sqrt{15} + i}}{2} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{\sqrt{15} + i}}{2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -15.5816231403779$$
$$x_{2} = -7.06858347057703$$
$$x_{3} = 32.2013246992954$$
$$x_{4} = 10.2101761241668$$
$$x_{5} = -32.2013246992954$$
$$x_{6} = -41.6261026600648$$
$$x_{7} = 79.9842725389687$$
$$x_{8} = 55.7632696012188$$
$$x_{9} = -37.5727717155065$$
$$x_{10} = 64.2763092710197$$
$$x_{11} = -7.98032176154552$$
$$x_{12} = -19.6349540849362$$
$$x_{13} = 98.8338284605074$$
$$x_{14} = -3.92699081698724$$
$$x_{15} = -69.9004365423729$$
$$x_{16} = 29.0597320457056$$
$$x_{17} = -67.6705821797516$$
$$x_{18} = 6.40952543475063$$
$$x_{19} = -77.7544181763474$$
$$x_{20} = -29.9714703366741$$
$$x_{21} = -50.1391423298656$$
$$x_{22} = -91.8915851175014$$
$$x_{23} = 73.0420291959627$$
$$x_{24} = -84.037603483527$$
$$x_{25} = 91.8915851175014$$
$$x_{26} = -55.7632696012188$$
$$x_{27} = -73.9537674869312$$
$$x_{28} = 84.037603483527$$
$$x_{29} = 88.0909344280852$$
$$x_{30} = 0.126340127571039$$
$$x_{31} = -76.1836218495525$$
$$x_{32} = 3.92699081698724$$
$$x_{33} = 72.3829711601363$$
$$x_{34} = -65.8471055978146$$
$$x_{35} = 90.3207887907066$$
$$x_{36} = -59.563920290635$$
$$x_{37} = 20.2940121207626$$
$$x_{38} = 98.174770424681$$
$$x_{39} = -28.1479937547371$$
$$x_{40} = -18.0641577581413$$
$$x_{41} = 76.1836218495525$$
$$x_{42} = -80.2369527941108$$
$$x_{43} = 24.3473430653209$$
$$x_{44} = 22.1174887026996$$
$$x_{45} = 14.010826813583$$
$$x_{46} = -40.0553063332699$$
$$x_{47} = 44.1086372778281$$
$$x_{48} = 66.0997858529567$$
$$x_{49} = 57.9931239638401$$
$$x_{50} = -98.174770424681$$
$$x_{51} = -72.1302909049942$$
$$x_{52} = 46.3384916404494$$
$$x_{53} = 40.0553063332699$$
$$x_{54} = -33.7721210260903$$
$$x_{55} = -25.9181393921158$$
$$x_{56} = 86.2674578461483$$
$$x_{57} = -51.9626189118026$$
$$x_{58} = 25.9181393921158$$
$$x_{59} = -45.679433604623$$
$$x_{60} = -58.2458042189822$$
$$x_{61} = -10.2101761241668$$
$$x_{62} = -11.1219144151353$$
$$x_{63} = -99.7455667514759$$
$$x_{64} = 62.0464549083984$$
$$x_{65} = -94.1214394801228$$
$$x_{66} = 54.1924732744239$$
$$x_{67} = 68.329640215578$$
$$x_{68} = -21.8648084475575$$
$$x_{69} = 28.4006740098792$$
$$x_{70} = 42.2851606958912$$
$$x_{71} = -85.6083998103219$$
$$x_{72} = 18.0641577581413$$
$$x_{73} = -54.1924732744239$$
$$x_{74} = 50.3918225850077$$
$$x_{75} = -23.6882850294945$$
$$x_{76} = 2.35619449019234$$
$$x_{77} = -11.7809724509617$$
$$x_{78} = 11.7809724509617$$
$$x_{79} = -62.0464549083984$$
$$x_{80} = 69.9004365423729$$
$$x_{81} = -87.8382541729432$$
$$x_{82} = -95.9449160620597$$
$$x_{83} = 36.0019753887116$$
$$x_{84} = -63.6172512351933$$
$$x_{85} = -43.8559570226861$$
$$x_{86} = -89.6617307548802$$
$$x_{87} = -1.69713645436594$$
$$x_{88} = -81.5550688657636$$
$$x_{89} = 33.7721210260903$$
$$x_{90} = 145.957718264354$$
$$x_{91} = 47.9092879672443$$
$$x_{92} = -36.2546556438537$$
$$x_{93} = 94.3741197352648$$
$$x_{94} = 76.8426798853789$$
$$x_{95} = -47.9092879672443$$
$$x_{96} = 7.06858347057703$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(- \sqrt{15} + i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{6} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(\sqrt{15} + i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{- \sqrt{15} + i}}{2} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{\sqrt{15} + i}}{2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -15.5816231403779$$
$$x_{2} = -7.06858347057703$$
$$x_{3} = 32.2013246992954$$
$$x_{4} = 10.2101761241668$$
$$x_{5} = -32.2013246992954$$
$$x_{6} = -41.6261026600648$$
$$x_{7} = 79.9842725389687$$
$$x_{8} = 55.7632696012188$$
$$x_{9} = -37.5727717155065$$
$$x_{10} = 64.2763092710197$$
$$x_{11} = -7.98032176154552$$
$$x_{12} = -19.6349540849362$$
$$x_{13} = 98.8338284605074$$
$$x_{14} = -3.92699081698724$$
$$x_{15} = -69.9004365423729$$
$$x_{16} = 29.0597320457056$$
$$x_{17} = -67.6705821797516$$
$$x_{18} = 6.40952543475063$$
$$x_{19} = -77.7544181763474$$
$$x_{20} = -29.9714703366741$$
$$x_{21} = -50.1391423298656$$
$$x_{22} = -91.8915851175014$$
$$x_{23} = 73.0420291959627$$
$$x_{24} = -84.037603483527$$
$$x_{25} = 91.8915851175014$$
$$x_{26} = -55.7632696012188$$
$$x_{27} = -73.9537674869312$$
$$x_{28} = 84.037603483527$$
$$x_{29} = 88.0909344280852$$
$$x_{30} = 0.126340127571039$$
$$x_{31} = -76.1836218495525$$
$$x_{32} = 3.92699081698724$$
$$x_{33} = 72.3829711601363$$
$$x_{34} = -65.8471055978146$$
$$x_{35} = 90.3207887907066$$
$$x_{36} = -59.563920290635$$
$$x_{37} = 20.2940121207626$$
$$x_{38} = 98.174770424681$$
$$x_{39} = -28.1479937547371$$
$$x_{40} = -18.0641577581413$$
$$x_{41} = 76.1836218495525$$
$$x_{42} = -80.2369527941108$$
$$x_{43} = 24.3473430653209$$
$$x_{44} = 22.1174887026996$$
$$x_{45} = 14.010826813583$$
$$x_{46} = -40.0553063332699$$
$$x_{47} = 44.1086372778281$$
$$x_{48} = 66.0997858529567$$
$$x_{49} = 57.9931239638401$$
$$x_{50} = -98.174770424681$$
$$x_{51} = -72.1302909049942$$
$$x_{52} = 46.3384916404494$$
$$x_{53} = 40.0553063332699$$
$$x_{54} = -33.7721210260903$$
$$x_{55} = -25.9181393921158$$
$$x_{56} = 86.2674578461483$$
$$x_{57} = -51.9626189118026$$
$$x_{58} = 25.9181393921158$$
$$x_{59} = -45.679433604623$$
$$x_{60} = -58.2458042189822$$
$$x_{61} = -10.2101761241668$$
$$x_{62} = -11.1219144151353$$
$$x_{63} = -99.7455667514759$$
$$x_{64} = 62.0464549083984$$
$$x_{65} = -94.1214394801228$$
$$x_{66} = 54.1924732744239$$
$$x_{67} = 68.329640215578$$
$$x_{68} = -21.8648084475575$$
$$x_{69} = 28.4006740098792$$
$$x_{70} = 42.2851606958912$$
$$x_{71} = -85.6083998103219$$
$$x_{72} = 18.0641577581413$$
$$x_{73} = -54.1924732744239$$
$$x_{74} = 50.3918225850077$$
$$x_{75} = -23.6882850294945$$
$$x_{76} = 2.35619449019234$$
$$x_{77} = -11.7809724509617$$
$$x_{78} = 11.7809724509617$$
$$x_{79} = -62.0464549083984$$
$$x_{80} = 69.9004365423729$$
$$x_{81} = -87.8382541729432$$
$$x_{82} = -95.9449160620597$$
$$x_{83} = 36.0019753887116$$
$$x_{84} = -63.6172512351933$$
$$x_{85} = -43.8559570226861$$
$$x_{86} = -89.6617307548802$$
$$x_{87} = -1.69713645436594$$
$$x_{88} = -81.5550688657636$$
$$x_{89} = 33.7721210260903$$
$$x_{90} = 145.957718264354$$
$$x_{91} = 47.9092879672443$$
$$x_{92} = -36.2546556438537$$
$$x_{93} = 94.3741197352648$$
$$x_{94} = 76.8426798853789$$
$$x_{95} = -47.9092879672443$$
$$x_{96} = 7.06858347057703$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} - 8 \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} - 8 \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(8 \sin{\left(4 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{- \sqrt{255} + i}}{4} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{255} + i}}{4} \right)}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{\sqrt{255} + i}}{4} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{\sqrt{255} + i}}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{255}}{255} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{255}}{255} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{255}}{255} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{255}}{255} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(8 \sin{\left(4 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{- \sqrt{255} + i}}{4} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{255} + i}}{4} \right)}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{\sqrt{255} + i}}{4} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{\sqrt{255} + i}}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{255}}{255} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{255}}{255} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{255}}{255} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{255}}{255} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x) - 2*sin(4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
$$- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \sin{\left(4 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
$$- 2 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \sin{\left(4 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar