Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
2*x^2-6*x
-
y=5x
-
y=4^x
-
Expresiones idénticas
- -cos(x)+ dos *(sqrt(tres)/ tres)*cos(x)*sin(x)
- menos coseno de (x) más 2 multiplicar por ( raíz cuadrada de (3) dividir por 3) multiplicar por coseno de (x) multiplicar por seno de (x)
- menos coseno de (x) más dos multiplicar por ( raíz cuadrada de (tres) dividir por tres) multiplicar por coseno de (x) multiplicar por seno de (x)
- -cos(x)+2*(√(3)/3)*cos(x)*sin(x)
- -cos(x)+2(sqrt(3)/3)cos(x)sin(x)
- -cosx+2sqrt3/3cosxsinx
- -cos(x)+2*(sqrt(3) dividir por 3)*cos(x)*sin(x)
-
Expresiones semejantes
- -cos(x)-2*(sqrt(3)/3)*cos(x)*sin(x)
- cos(x)+2*(sqrt(3)/3)*cos(x)*sin(x)
- -cosx+2*(sqrt(3)/3)*cosx*sinx
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos[x]/x^2
- cos(x-pi/3)-1
- cos(x)/(1+cos^2*2x)
- cos(1)/((3*x))
- cos(sqrt(x))+1
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+4*x+4)
- sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2-1)
- sqrt(x^2-6*x+11)
- sqrt[x^2+10x+26]-2
- sqrt(9*x)^2+5
- Coseno cos
- cos[x]/x^2
- cos(x-pi/3)-1
- cos(x)/(1+cos^2*2x)
- cos(1)/((3*x))
- cos(sqrt(x))+1
- Seno sin
- sin(0,5x+pi/4)+0,5
- sin(x×4)
- sin(x^4-3*x^2+1)
- sin(x)+cos(x)+sin(x)/x!
- sin(x*(pi/180))
Gráfico de la función y = -cos(x)+2*(sqrt(3)/3)*cos(x)*sin(x)
Solución
Ha introducido
[src]
___
\/ 3
f(x) = -cos(x) + 2*-----*cos(x)*sin(x)
3
$$f{\left(x \right)} = 2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
f = ((2*(sqrt(3)/3))*cos(x))*sin(x) - cos(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{2 \pi}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 48.6946861306418$$
$$x_{2} = 38.7463093942741$$
$$x_{3} = 32.4631240870945$$
$$x_{4} = -54.4542726622231$$
$$x_{5} = -14.1371669411541$$
$$x_{6} = -4.18879020478639$$
$$x_{7} = 90.0589894029074$$
$$x_{8} = -74.3510261349584$$
$$x_{9} = 76.4454212373516$$
$$x_{10} = -1.5707963267949$$
$$x_{11} = 23.5619449019235$$
$$x_{12} = 73.8274273593601$$
$$x_{13} = 95.2949771588904$$
$$x_{14} = 89.0117918517108$$
$$x_{15} = 4.71238898038469$$
$$x_{16} = 8.37758040957278$$
$$x_{17} = -20.4203522483337$$
$$x_{18} = -26.7035375555132$$
$$x_{19} = -42.9350995990605$$
$$x_{20} = 252.898208613978$$
$$x_{21} = -95.8185759344887$$
$$x_{22} = 51.3126800086333$$
$$x_{23} = -30.3687289847013$$
$$x_{24} = 20.4203522483337$$
$$x_{25} = 46.0766922526503$$
$$x_{26} = 67.5442420521806$$
$$x_{27} = 36.1283155162826$$
$$x_{28} = 58.1194640914112$$
$$x_{29} = -29.845130209103$$
$$x_{30} = -41.8879020478639$$
$$x_{31} = -92.1533845053006$$
$$x_{32} = -23.0383461263252$$
$$x_{33} = -29.3215314335047$$
$$x_{34} = 77.4926187885482$$
$$x_{35} = -16.7551608191456$$
$$x_{36} = 39.7935069454707$$
$$x_{37} = 7.33038285837618$$
$$x_{38} = -99.4837673636768$$
$$x_{39} = 58.6430628670095$$
$$x_{40} = 33.5103216382911$$
$$x_{41} = -49.2182849062401$$
$$x_{42} = 83.7758040957278$$
$$x_{43} = 51.8362787842316$$
$$x_{44} = 82.7286065445312$$
$$x_{45} = 80.1106126665397$$
$$x_{46} = -48.1710873550435$$
$$x_{47} = 64.9262481741891$$
$$x_{48} = 14.1371669411541$$
$$x_{49} = -80.634211442138$$
$$x_{50} = -85.870199198121$$
$$x_{51} = -86.9173967493176$$
$$x_{52} = 20.943951023932$$
$$x_{53} = 42.4115008234622$$
$$x_{54} = -61.7846555205993$$
$$x_{55} = -45.553093477052$$
$$x_{56} = -60.7374579694027$$
$$x_{57} = -11.5191730631626$$
$$x_{58} = -58.1194640914112$$
$$x_{59} = 45.0294947014537$$
$$x_{60} = 26.1799387799149$$
$$x_{61} = -93.2005820564972$$
$$x_{62} = 71.2094334813686$$
$$x_{63} = 96.342174710087$$
$$x_{64} = -83.2522053201295$$
$$x_{65} = -68.0678408277789$$
$$x_{66} = -70.6858347057703$$
$$x_{67} = 27.2271363311115$$
$$x_{68} = -39.2699081698724$$
$$x_{69} = -36.1283155162826$$
$$x_{70} = -64.4026493985908$$
$$x_{71} = 70.162235930172$$
$$x_{72} = 92.6769832808989$$
$$x_{73} = -17.8023583703422$$
$$x_{74} = -51.8362787842316$$
$$x_{75} = 2.0943951023932$$
$$x_{76} = 1.0471975511966$$
$$x_{77} = -5.23598775598299$$
$$x_{78} = 13.6135681655558$$
$$x_{79} = -89.5353906273091$$
$$x_{80} = 102.101761241668$$
$$x_{81} = -55.5014702134197$$
$$x_{82} = -10.471975511966$$
$$x_{83} = -73.8274273593601$$
$$x_{84} = 29.845130209103$$
$$x_{85} = 14.6607657167524$$
$$x_{86} = -36.6519142918809$$
$$x_{87} = 202.109127380943$$
$$x_{88} = -98.4365698124802$$
$$x_{89} = 86.3937979737193$$
$$x_{90} = 64.4026493985908$$
$$x_{91} = -67.0206432765823$$
$$x_{92} = -80.1106126665397$$
$$x_{93} = -7.85398163397448$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{2 \pi}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 48.6946861306418$$
$$x_{2} = 38.7463093942741$$
$$x_{3} = 32.4631240870945$$
$$x_{4} = -54.4542726622231$$
$$x_{5} = -14.1371669411541$$
$$x_{6} = -4.18879020478639$$
$$x_{7} = 90.0589894029074$$
$$x_{8} = -74.3510261349584$$
$$x_{9} = 76.4454212373516$$
$$x_{10} = -1.5707963267949$$
$$x_{11} = 23.5619449019235$$
$$x_{12} = 73.8274273593601$$
$$x_{13} = 95.2949771588904$$
$$x_{14} = 89.0117918517108$$
$$x_{15} = 4.71238898038469$$
$$x_{16} = 8.37758040957278$$
$$x_{17} = -20.4203522483337$$
$$x_{18} = -26.7035375555132$$
$$x_{19} = -42.9350995990605$$
$$x_{20} = 252.898208613978$$
$$x_{21} = -95.8185759344887$$
$$x_{22} = 51.3126800086333$$
$$x_{23} = -30.3687289847013$$
$$x_{24} = 20.4203522483337$$
$$x_{25} = 46.0766922526503$$
$$x_{26} = 67.5442420521806$$
$$x_{27} = 36.1283155162826$$
$$x_{28} = 58.1194640914112$$
$$x_{29} = -29.845130209103$$
$$x_{30} = -41.8879020478639$$
$$x_{31} = -92.1533845053006$$
$$x_{32} = -23.0383461263252$$
$$x_{33} = -29.3215314335047$$
$$x_{34} = 77.4926187885482$$
$$x_{35} = -16.7551608191456$$
$$x_{36} = 39.7935069454707$$
$$x_{37} = 7.33038285837618$$
$$x_{38} = -99.4837673636768$$
$$x_{39} = 58.6430628670095$$
$$x_{40} = 33.5103216382911$$
$$x_{41} = -49.2182849062401$$
$$x_{42} = 83.7758040957278$$
$$x_{43} = 51.8362787842316$$
$$x_{44} = 82.7286065445312$$
$$x_{45} = 80.1106126665397$$
$$x_{46} = -48.1710873550435$$
$$x_{47} = 64.9262481741891$$
$$x_{48} = 14.1371669411541$$
$$x_{49} = -80.634211442138$$
$$x_{50} = -85.870199198121$$
$$x_{51} = -86.9173967493176$$
$$x_{52} = 20.943951023932$$
$$x_{53} = 42.4115008234622$$
$$x_{54} = -61.7846555205993$$
$$x_{55} = -45.553093477052$$
$$x_{56} = -60.7374579694027$$
$$x_{57} = -11.5191730631626$$
$$x_{58} = -58.1194640914112$$
$$x_{59} = 45.0294947014537$$
$$x_{60} = 26.1799387799149$$
$$x_{61} = -93.2005820564972$$
$$x_{62} = 71.2094334813686$$
$$x_{63} = 96.342174710087$$
$$x_{64} = -83.2522053201295$$
$$x_{65} = -68.0678408277789$$
$$x_{66} = -70.6858347057703$$
$$x_{67} = 27.2271363311115$$
$$x_{68} = -39.2699081698724$$
$$x_{69} = -36.1283155162826$$
$$x_{70} = -64.4026493985908$$
$$x_{71} = 70.162235930172$$
$$x_{72} = 92.6769832808989$$
$$x_{73} = -17.8023583703422$$
$$x_{74} = -51.8362787842316$$
$$x_{75} = 2.0943951023932$$
$$x_{76} = 1.0471975511966$$
$$x_{77} = -5.23598775598299$$
$$x_{78} = 13.6135681655558$$
$$x_{79} = -89.5353906273091$$
$$x_{80} = 102.101761241668$$
$$x_{81} = -55.5014702134197$$
$$x_{82} = -10.471975511966$$
$$x_{83} = -73.8274273593601$$
$$x_{84} = 29.845130209103$$
$$x_{85} = 14.6607657167524$$
$$x_{86} = -36.6519142918809$$
$$x_{87} = 202.109127380943$$
$$x_{88} = -98.4365698124802$$
$$x_{89} = 86.3937979737193$$
$$x_{90} = 64.4026493985908$$
$$x_{91} = -67.0206432765823$$
$$x_{92} = -80.1106126665397$$
$$x_{93} = -7.85398163397448$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{105} + 11}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{35}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{105} + 11}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{105} + 11}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{105} + 11}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{35}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{105} + 11}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{35}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \sqrt{3} \sin^{2}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \sqrt{3} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{105} + 11}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{35}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{105} + 11}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ / ______________\\ / / ______________\\
| | ___ ____ ___ / _____ || | | ___ ____ ___ / _____ ||
/ ______________\ / / ______________\\ ___ | | \/ 3 \/ 35 \/ 2 *\/ 11 - \/ 105 || | | \/ 3 \/ 35 \/ 2 *\/ 11 - \/ 105 ||
| ___ ____ ___ / _____ | | | ___ ____ ___ / _____ || 2*\/ 3 *cos|2*atan|- ----- + ------ + -----------------------||*sin|2*atan|- ----- + ------ + -----------------------||
| \/ 3 \/ 35 \/ 2 *\/ 11 - \/ 105 | | | \/ 3 \/ 35 \/ 2 *\/ 11 - \/ 105 || \ \ 4 4 4 // \ \ 4 4 4 //
(2*atan|- ----- + ------ + -----------------------|, - cos|2*atan|- ----- + ------ + -----------------------|| + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
\ 4 4 4 / \ \ 4 4 4 // 3 / / ______________\\ / / ______________\\
| | ___ ____ ___ / _____ || | | ___ ____ ___ / _____ ||
/ ______________\ / / ______________\\ ___ | |\/ 3 \/ 35 \/ 2 *\/ 11 + \/ 105 || | |\/ 3 \/ 35 \/ 2 *\/ 11 + \/ 105 ||
| ___ ____ ___ / _____ | | | ___ ____ ___ / _____ || 2*\/ 3 *cos|2*atan|----- + ------ + -----------------------||*sin|2*atan|----- + ------ + -----------------------||
|\/ 3 \/ 35 \/ 2 *\/ 11 + \/ 105 | | |\/ 3 \/ 35 \/ 2 *\/ 11 + \/ 105 || \ \ 4 4 4 // \ \ 4 4 4 //
(-2*atan|----- + ------ + -----------------------|, - cos|2*atan|----- + ------ + -----------------------|| - -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
\ 4 4 4 / \ \ 4 4 4 // 3 / / ______________\\ / / ______________\\
| | ____ ___ ___ / _____ || | | ____ ___ ___ / _____ ||
/ ______________\ / / ______________\\ ___ | | \/ 35 \/ 3 \/ 2 *\/ 11 - \/ 105 || | | \/ 35 \/ 3 \/ 2 *\/ 11 - \/ 105 ||
| ____ ___ ___ / _____ | | | ____ ___ ___ / _____ || 2*\/ 3 *cos|2*atan|- ------ + ----- + -----------------------||*sin|2*atan|- ------ + ----- + -----------------------||
| \/ 35 \/ 3 \/ 2 *\/ 11 - \/ 105 | | | \/ 35 \/ 3 \/ 2 *\/ 11 - \/ 105 || \ \ 4 4 4 // \ \ 4 4 4 //
(-2*atan|- ------ + ----- + -----------------------|, - cos|2*atan|- ------ + ----- + -----------------------|| - -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
\ 4 4 4 / \ \ 4 4 4 // 3 / / ______________\\ / / ______________\\
| | ___ ____ ___ / _____ || | | ___ ____ ___ / _____ ||
/ ______________\ / / ______________\\ ___ | |\/ 3 \/ 35 \/ 2 *\/ 11 + \/ 105 || | |\/ 3 \/ 35 \/ 2 *\/ 11 + \/ 105 ||
| ___ ____ ___ / _____ | | | ___ ____ ___ / _____ || 2*\/ 3 *cos|2*atan|----- + ------ - -----------------------||*sin|2*atan|----- + ------ - -----------------------||
|\/ 3 \/ 35 \/ 2 *\/ 11 + \/ 105 | | |\/ 3 \/ 35 \/ 2 *\/ 11 + \/ 105 || \ \ 4 4 4 // \ \ 4 4 4 //
(-2*atan|----- + ------ - -----------------------|, - cos|2*atan|----- + ------ - -----------------------|| - -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
\ 4 4 4 / \ \ 4 4 4 // 3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{105} + 11}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{105} + 11}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{35}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{105} + 11}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{35}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{11 - \sqrt{105}}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{4} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(- \frac{8 \sqrt{3} \sin{\left(x \right)}}{3} + 1\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{183}}{3} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{183}}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{183}}{3} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(- \frac{8 \sqrt{3} \sin{\left(x \right)}}{3} + 1\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{183}}{3} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{183}}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{183}}{3} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -cos(x) + ((2*(sqrt(3)/3))*cos(x))*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \frac{2 \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$$
- No
$$2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \frac{2 \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \frac{2 \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$$
- No
$$2 \frac{\sqrt{3}}{3} \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \frac{2 \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar