Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -sqrt(-1+3*x+3*log(3+x^2)-3*sqrt(3)*atan(x*sqrt(3)/3))

Gráfico de la función y = -sqrt(-1+3*x+3*log(3+x^2)-3*sqrt(3)*atan(x*sqrt(3)/3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             __________________________________________________
            /                                        /    ___\ 
           /                  /     2\       ___     |x*\/ 3 | 
f(x) = -  /   -1 + 3*x + 3*log\3 + x / - 3*\/ 3 *atan|-------| 
        \/                                           \   3   /
f(x)=−((3x−1)+3log⁡(x2+3))−33atan⁡(3x3)f{\left(x \right)} = - \sqrt{\left(\left(3 x - 1\right) + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)}\right) - 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}} 
f = -sqrt(3*x - 1 + 3*log(x^2 + 3) - 3*sqrt(3)*atan((sqrt(3)*x)/3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−((3x−1)+3log⁡(x2+3))−33atan⁡(3x3)=0- \sqrt{\left(\left(3 x - 1\right) + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)}\right) - 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -sqrt(-1 + 3*x + 3*log(3 + x^2) - 3*sqrt(3)*atan((x*sqrt(3))/3)).
−−33atan⁡(033)+((−1+0⋅3)+3log⁡(02+3))- \sqrt{- 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{3} \right)} + \left(\left(-1 + 0 \cdot 3\right) + 3 \log{\left(0^{2} + 3 \right)}\right)}
Resultado:
f(0)=−−1+3log⁡(3)f{\left(0 \right)} = - \sqrt{-1 + 3 \log{\left(3 \right)}}
Punto:
(0, -sqrt(-1 + 3*log(3)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3xx2+3+32−32(x23+1)((3x−1)+3log⁡(x2+3))−33atan⁡(3x3)=0- \frac{\frac{3 x}{x^{2} + 3} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2 \left(\frac{x^{2}}{3} + 1\right)}}{\sqrt{\left(\left(3 x - 1\right) + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)}\right) - 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
           _______________________________________ 
          /                             /    ___\  
         /                      ___     |2*\/ 3 |  
(-2, -  /   -7 + 3*log(7) + 3*\/ 3 *atan|-------| )
      \/                                \   3   /  

       _______________ 
(0, -\/ -1 + 3*log(3) )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
[−2,0]\left[-2, 0\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2]∪[0,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(3(2xx2+3+1−3x2+3)24(3x+3log⁡(x2+3)−33atan⁡(3x3)−1)−−2x2x2+3+3xx2+3+1x2+3)3x+3log⁡(x2+3)−33atan⁡(3x3)−1=0\frac{3 \left(\frac{3 \left(\frac{2 x}{x^{2} + 3} + 1 - \frac{3}{x^{2} + 3}\right)^{2}}{4 \left(3 x + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)} - 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} - 1\right)} - \frac{- \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3 x}{x^{2} + 3} + 1}{x^{2} + 3}\right)}{\sqrt{3 x + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)} - 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.65385714679442x_{1} = 1.65385714679442

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1.65385714679442,∞)\left[1.65385714679442, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1.65385714679442]\left(-\infty, 1.65385714679442\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−((3x−1)+3log⁡(x2+3))−33atan⁡(3x3))=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{\left(\left(3 x - 1\right) + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)}\right) - 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−((3x−1)+3log⁡(x2+3))−33atan⁡(3x3))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{\left(\left(3 x - 1\right) + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)}\right) - 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -sqrt(-1 + 3*x + 3*log(3 + x^2) - 3*sqrt(3)*atan((x*sqrt(3))/3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−((3x−1)+3log⁡(x2+3))−33atan⁡(3x3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sqrt{\left(\left(3 x - 1\right) + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)}\right) - 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−((3x−1)+3log⁡(x2+3))−33atan⁡(3x3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sqrt{\left(\left(3 x - 1\right) + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)}\right) - 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−((3x−1)+3log⁡(x2+3))−33atan⁡(3x3)=−−3x+3log⁡(x2+3)+33atan⁡(3x3)−1- \sqrt{\left(\left(3 x - 1\right) + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)}\right) - 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}} = - \sqrt{- 3 x + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)} + 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} - 1}
- No
−((3x−1)+3log⁡(x2+3))−33atan⁡(3x3)=−3x+3log⁡(x2+3)+33atan⁡(3x3)−1- \sqrt{\left(\left(3 x - 1\right) + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)}\right) - 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}} = \sqrt{- 3 x + 3 \log{\left(x^{2} + 3 \right)} + 3 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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