Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)-cos(x)+1

Gráfico de la función y = sin(x)-cos(x)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x) - cos(x) + 1
f(x)=(sin⁡(x)−cos⁡(x))+1f{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 1 
f = sin(x) - cos(x) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(sin⁡(x)−cos⁡(x))+1=0\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=48.6946861306418x_{1} = 48.6946861306418
x2=54.9778714378214x_{2} = 54.9778714378214
x3=67.5442420521806x_{3} = 67.5442420521806
x4=36.1283155162826x_{4} = 36.1283155162826
x5=81.6814089933346x_{5} = 81.6814089933346
x6=−43.9822971502571x_{6} = -43.9822971502571
x7=−100.530964914873x_{7} = -100.530964914873
x8=177939.807899326x_{8} = 177939.807899326
x9=61.261056745001x_{9} = 61.261056745001
x10=−39.2699081698724x_{10} = -39.2699081698724
x11=−31.4159265358979x_{11} = -31.4159265358979
x12=56.5486677646163x_{12} = 56.5486677646163
x13=−64.4026493985908x_{13} = -64.4026493985908
x14=−14.1371669411541x_{14} = -14.1371669411541
x15=92.6769832808989x_{15} = 92.6769832808989
x16=−56.5486677646163x_{16} = -56.5486677646163
x17=12.5663706143592x_{17} = 12.5663706143592
x18=−51.8362787842316x_{18} = -51.8362787842316
x19=43.9822971502571x_{19} = 43.9822971502571
x20=42.4115008234622x_{20} = 42.4115008234622
x21=100.530964914873x_{21} = 100.530964914873
x22=−45.553093477052x_{22} = -45.553093477052
x23=−89.5353906273091x_{23} = -89.5353906273091
x24=−1.5707963267949x_{24} = -1.5707963267949
x25=23.5619449019235x_{25} = 23.5619449019235
x26=2475.57501102876x_{26} = 2475.57501102876
x27=−58.1194640914112x_{27} = -58.1194640914112
x28=6.28318530717959x_{28} = 6.28318530717959
x29=−87.9645943005142x_{29} = -87.9645943005142
x30=73.8274273593601x_{30} = 73.8274273593601
x31=87.9645943005142x_{31} = 87.9645943005142
x32=29.845130209103x_{32} = 29.845130209103
x33=18.8495559215388x_{33} = 18.8495559215388
x34=69.1150383789755x_{34} = 69.1150383789755
x35=25.1327412287183x_{35} = 25.1327412287183
x36=−25.1327412287183x_{36} = -25.1327412287183
x37=37.6991118430775x_{37} = 37.6991118430775
x38=4.71238898038469x_{38} = 4.71238898038469
x39=0x_{39} = 0
x40=86.3937979737193x_{40} = 86.3937979737193
x41=−6.28318530717959x_{41} = -6.28318530717959
x42=50.2654824574367x_{42} = 50.2654824574367
x43=−62.8318530717959x_{43} = -62.8318530717959
x44=75.398223686155x_{44} = 75.398223686155
x45=−20.4203522483337x_{45} = -20.4203522483337
x46=−26.7035375555132x_{46} = -26.7035375555132
x47=98.9601685880785x_{47} = 98.9601685880785
x48=213.628300444106x_{48} = 213.628300444106
x49=−69.1150383789755x_{49} = -69.1150383789755
x50=−95.8185759344887x_{50} = -95.8185759344887
x51=−18.8495559215388x_{51} = -18.8495559215388
x52=94.2477796076938x_{52} = 94.2477796076938
x53=80.1106126665397x_{53} = 80.1106126665397
x54=−50.2654824574367x_{54} = -50.2654824574367
x55=−37.6991118430775x_{55} = -37.6991118430775
x56=−81.6814089933346x_{56} = -81.6814089933346
x57=−83.2522053201295x_{57} = -83.2522053201295
x58=−76.9690200129499x_{58} = -76.9690200129499
x59=62.8318530717959x_{59} = 62.8318530717959
x60=−32.9867228626928x_{60} = -32.9867228626928
x61=205.774318810131x_{61} = 205.774318810131
x62=31.4159265358979x_{62} = 31.4159265358979
x63=17.2787595947439x_{63} = 17.2787595947439
x64=−70.6858347057703x_{64} = -70.6858347057703
x65=−75.398223686155x_{65} = -75.398223686155
x66=10.9955742875643x_{66} = 10.9955742875643
x67=−12.5663706143592x_{67} = -12.5663706143592
x68=576.482251933727x_{68} = 576.482251933727
x69=−125.663706143592x_{69} = -125.663706143592
x70=−94.2477796076938x_{70} = -94.2477796076938
x71=−7.85398163397448x_{71} = -7.85398163397448
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) - cos(x) + 1.
(−cos⁡(0)+sin⁡(0))+1\left(- \cos{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \right)}\right) + 1
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)+cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi         ___ 
(----, 1 - \/ 2 )
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(x)−cos⁡(x))+1)=⟨−1,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,3⟩y = \left\langle -1, 3\right\rangle
lim⁡x→∞((sin⁡(x)−cos⁡(x))+1)=⟨−1,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,3⟩y = \left\langle -1, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) - cos(x) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(x)−cos⁡(x))+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((sin⁡(x)−cos⁡(x))+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡(x)−cos⁡(x))+1=−sin⁡(x)−cos⁡(x)+1\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 1 = - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} + 1
- No
(sin⁡(x)−cos⁡(x))+1=sin⁡(x)+cos⁡(x)−1\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 1 = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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