Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tan(x/2)^(2/x)*(log(tan(x/2))*(-2)/x^2+2*(1/2+tan(x/2)^1)/((x*tan(x/2))))

Gráfico de la función y = tan(x/2)^(2/x)*(log(tan(x/2))*(-2)/x^2+2*(1/2+tan(x/2)^1)/((x*tan(x/2))))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               2                                     
               - /   /   /x\\          /1      1/x\\\
               x |log|tan|-||*(-2)   2*|- + tan |-|||
       /   /x\\  |   \   \2//          \2       \2//|
f(x) = |tan|-|| *|---------------- + ---------------|
       \   \2//  |        2                   /x\   |
                 |       x               x*tan|-|   |
                 \                            \2/   /
f(x)=(2(tan⁡1(x2)+12)xtan⁡(x2)+(−2)log⁡(tan⁡(x2))x2)tan⁡2x(x2)f{\left(x \right)} = \left(\frac{2 \left(\tan^{1}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{2}\right)}{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\left(-2\right) \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \tan^{\frac{2}{x}}{\left(\frac{x}{2} \right)} 
f = ((2*(tan(x/2)^1 + 1/2))/((x*tan(x/2))) + ((-2)*log(tan(x/2)))/x^2)*tan(x/2)^(2/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2(tan⁡1(x2)+12)xtan⁡(x2)+(−2)log⁡(tan⁡(x2))x2)tan⁡2x(x2)=0\left(\frac{2 \left(\tan^{1}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{2}\right)}{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\left(-2\right) \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \tan^{\frac{2}{x}}{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x/2)^(2/x)*((log(tan(x/2))*(-2))/x^2 + (2*(1/2 + tan(x/2)^1))/((x*tan(x/2)))).
((−2)log⁡(tan⁡(02))02+2(tan⁡1(02)+12)0tan⁡(02))tan⁡20(02)\left(\frac{\left(-2\right) \log{\left(\tan{\left(\frac{0}{2} \right)} \right)}}{0^{2}} + \frac{2 \left(\tan^{1}{\left(\frac{0}{2} \right)} + \frac{1}{2}\right)}{0 \tan{\left(\frac{0}{2} \right)}}\right) \tan^{\frac{2}{0}}{\left(\frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞((2(tan⁡1(x2)+12)xtan⁡(x2)+(−2)log⁡(tan⁡(x2))x2)tan⁡2x(x2))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{2 \left(\tan^{1}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{2}\right)}{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\left(-2\right) \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \tan^{\frac{2}{x}}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞((2(tan⁡1(x2)+12)xtan⁡(x2)+(−2)log⁡(tan⁡(x2))x2)tan⁡2x(x2))y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{2 \left(\tan^{1}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{2}\right)}{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\left(-2\right) \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \tan^{\frac{2}{x}}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x/2)^(2/x)*((log(tan(x/2))*(-2))/x^2 + (2*(1/2 + tan(x/2)^1))/((x*tan(x/2)))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞((2(tan⁡1(x2)+12)xtan⁡(x2)+(−2)log⁡(tan⁡(x2))x2)tan⁡2x(x2)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{2 \left(\tan^{1}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{2}\right)}{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\left(-2\right) \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \tan^{\frac{2}{x}}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞((2(tan⁡1(x2)+12)xtan⁡(x2)+(−2)log⁡(tan⁡(x2))x2)tan⁡2x(x2)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2 \left(\tan^{1}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{2}\right)}{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\left(-2\right) \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \tan^{\frac{2}{x}}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2(tan⁡1(x2)+12)xtan⁡(x2)+(−2)log⁡(tan⁡(x2))x2)tan⁡2x(x2)=(−tan⁡(x2))−2x(1−2tan⁡(x2)xtan⁡(x2)−2log⁡(−tan⁡(x2))x2)\left(\frac{2 \left(\tan^{1}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{2}\right)}{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\left(-2\right) \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \tan^{\frac{2}{x}}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(- \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{- \frac{2}{x}} \left(\frac{1 - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{2 \log{\left(- \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{x^{2}}\right)
- No
(2(tan⁡1(x2)+12)xtan⁡(x2)+(−2)log⁡(tan⁡(x2))x2)tan⁡2x(x2)=−(−tan⁡(x2))−2x(1−2tan⁡(x2)xtan⁡(x2)−2log⁡(−tan⁡(x2))x2)\left(\frac{2 \left(\tan^{1}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{2}\right)}{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\left(-2\right) \log{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \tan^{\frac{2}{x}}{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \left(- \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{- \frac{2}{x}} \left(\frac{1 - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{2 \log{\left(- \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{x^{2}}\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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