Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tan(x+pi/4)-2

Gráfico de la función y = tan(x+pi/4)-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\    
f(x) = tan|x + --| - 2
          \    4 /
f(x)=tan⁡(x+π4)−2f{\left(x \right)} = \tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2 
f = tan(x + pi/4) - 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡(x+π4)−2=0\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4+atan⁡(2)x_{1} = - \frac{\pi}{4} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Solución numérica
x1=53.7288256654231x_{1} = 53.7288256654231
x2=31.7376770902946x_{2} = 31.7376770902946
x3=66.2951962797823x_{3} = 66.2951962797823
x4=−37.3773612886809x_{4} = -37.3773612886809
x5=−75.0764731317584x_{5} = -75.0764731317584
x6=−31.0941759815013x_{6} = -31.0941759815013
x7=−97.067621706887x_{7} = -97.067621706887
x8=−56.2269172102196x_{8} = -56.2269172102196
x9=−15.3862127135523x_{9} = -15.3862127135523
x10=41.162455051064x_{10} = 41.162455051064
x11=50.5872330118333x_{11} = 50.5872330118333
x12=−65.651695170989x_{12} = -65.651695170989
x13=25.454491783115x_{13} = 25.454491783115
x14=9.74652851516602x_{14} = 9.74652851516602
x15=−34.2357686350911x_{15} = -34.2357686350911
x16=−78.2180657853482x_{16} = -78.2180657853482
x17=6.60493586157623x_{17} = 6.60493586157623
x18=16.0297138223456x_{18} = 16.0297138223456
x19=0.321750554396642x_{19} = 0.321750554396642
x20=88.2863448549109x_{20} = 88.2863448549109
x21=82.0031595477313x_{21} = 82.0031595477313
x22=−49.9437319030401x_{22} = -49.9437319030401
x23=−5.96143475278294x_{23} = -5.96143475278294
x24=44.3040477046537x_{24} = 44.3040477046537
x25=22.3128991295252x_{25} = 22.3128991295252
x26=−59.3685098638094x_{26} = -59.3685098638094
x27=38.0208623974742x_{27} = 38.0208623974742
x28=−81.359658438938x_{28} = -81.359658438938
x29=−43.6605465958605x_{29} = -43.6605465958605
x30=−93.9260290532972x_{30} = -93.9260290532972
x31=−87.6428437461176x_{31} = -87.6428437461176
x32=75.7199742405517x_{32} = 75.7199742405517
x33=60.0120109726027x_{33} = 60.0120109726027
x34=97.7111228156802x_{34} = 97.7111228156802
x35=28.5960844367048x_{35} = 28.5960844367048
x36=−100.209214360477x_{36} = -100.209214360477
x37=−71.9348804781686x_{37} = -71.9348804781686
x38=−21.6693980207319x_{38} = -21.6693980207319
x39=−12.2446200599625x_{39} = -12.2446200599625
x40=−18.5278053671421x_{40} = -18.5278053671421
x41=94.5695301620904x_{41} = 94.5695301620904
x42=72.5783815869619x_{42} = 72.5783815869619
x43=−53.0853245566298x_{43} = -53.0853245566298
x44=−27.9525833279115x_{44} = -27.9525833279115
x45=−700.253411196127x_{45} = -700.253411196127
x46=−84.5012510925278x_{46} = -84.5012510925278
x47=12.8881211687558x_{47} = 12.8881211687558
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x + pi/4) - 2.
−2+tan⁡(π4)-2 + \tan{\left(\frac{\pi}{4} \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
tan⁡2(x+π4)+1=0\tan^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(tan⁡2(x+π4)+1)tan⁡(x+π4)=02 \left(\tan^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) \tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(tan⁡(x+π4)−2)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(tan⁡(x+π4)−2)y = \lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x + pi/4) - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(tan⁡(x+π4)−2x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(tan⁡(x+π4)−2x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡(x+π4)−2=−tan⁡(x−π4)−2\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2 = - \tan{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} - 2
- No
tan⁡(x+π4)−2=tan⁡(x−π4)+2\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 2 = \tan{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} + 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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