Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -3*sin(x/3)+4*cos(x/3)

Gráfico de la función y = -3*sin(x/3)+4*cos(x/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              /x\        /x\
f(x) = - 3*sin|-| + 4*cos|-|
              \3/        \3/
f(x)=−3sin⁡(x3)+4cos⁡(x3)f{\left(x \right)} = - 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} 
f = -3*sin(x/3) + 4*cos(x/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−3sin⁡(x3)+4cos⁡(x3)=0- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3atan⁡(43)x_{1} = 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}
Solución numérica
x1=49.9057754578517x_{1} = 49.9057754578517
x2=1850.0383659648x_{2} = 1850.0383659648
x3=97.0296652616986x_{3} = 97.0296652616986
x4=−91.465893953689x_{4} = -91.465893953689
x5=−63.1915600713808x_{5} = -63.1915600713808
x6=40.4809974970824x_{6} = 40.4809974970824
x7=87.6048873009292x_{7} = 87.6048873009292
x8=31.056219536313x_{8} = 31.056219536313
x9=12.2066636147742x_{9} = 12.2066636147742
x10=−53.7667821106114x_{10} = -53.7667821106114
x11=2.78188565400484x_{11} = 2.78188565400484
x12=−204.563229482922x_{12} = -204.563229482922
x13=−1618.27992359833x_{13} = -1618.27992359833
x14=−44.3420041498421x_{14} = -44.3420041498421
x15=−100.890671914458x_{15} = -100.890671914458
x16=−6.64289230676454x_{16} = -6.64289230676454
x17=−82.0411159929196x_{17} = -82.0411159929196
x18=−411.908344619848x_{18} = -411.908344619848
x19=78.1801093401599x_{19} = 78.1801093401599
x20=59.3305534186211x_{20} = 59.3305534186211
x21=68.7553313793905x_{21} = 68.7553313793905
x22=−25.4924482283033x_{22} = -25.4924482283033
x23=−16.0676702675339x_{23} = -16.0676702675339
x24=−21042.747300744x_{24} = -21042.747300744
x25=−5784.03178225839x_{25} = -5784.03178225839
x26=−72.6163380321502x_{26} = -72.6163380321502
x27=−34.9172261890727x_{27} = -34.9172261890727
x28=21.6314415755436x_{28} = 21.6314415755436
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -3*sin(x/3) + 4*cos(x/3).
−3sin⁡(03)+4cos⁡(03)- 3 \sin{\left(\frac{0}{3} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{0}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(x3)3−cos⁡(x3)=0- \frac{4 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} - \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3atan⁡(34)x_{1} = - 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(-3*atan(3/4), 5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−3atan⁡(34)x_{1} = - 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,−3atan⁡(34)]\left(-\infty, - 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[−3atan⁡(34),∞)\left[- 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3sin⁡(x3)−4cos⁡(x3)9=0\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3atan⁡(43)x_{1} = 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3atan⁡(43),∞)\left[3 \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,3atan⁡(43)]\left(-\infty, 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−3sin⁡(x3)+4cos⁡(x3))=⟨−7,7⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−7,7⟩y = \left\langle -7, 7\right\rangle
lim⁡x→∞(−3sin⁡(x3)+4cos⁡(x3))=⟨−7,7⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−7,7⟩y = \left\langle -7, 7\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -3*sin(x/3) + 4*cos(x/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−3sin⁡(x3)+4cos⁡(x3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−3sin⁡(x3)+4cos⁡(x3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−3sin⁡(x3)+4cos⁡(x3)=3sin⁡(x3)+4cos⁡(x3)- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}
- No
−3sin⁡(x3)+4cos⁡(x3)=−3sin⁡(x3)−4cos⁡(x3)- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = - 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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