Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(2/x)

Gráfico de la función y = cos(2/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /2\
f(x) = cos|-|
          \x/
f(x)=cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} 
f = cos(2/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(2x)=0\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=43πx_{1} = \frac{4}{3 \pi}
x2=4πx_{2} = \frac{4}{\pi}
Solución numérica
x1=1.27323954473516x_{1} = 1.27323954473516
x2=−1.27323954473516x_{2} = -1.27323954473516
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(2/x).
cos⁡(20)\cos{\left(\frac{2}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(2x)x2=0\frac{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2πx_{1} = \frac{2}{\pi}
Signos de extremos en los puntos:
 2      
(--, -1)
 pi


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2πx_{1} = \frac{2}{\pi}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2π,∞)\left[\frac{2}{\pi}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2π]\left(-\infty, \frac{2}{\pi}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(sin⁡(2x)+cos⁡(2x)x)x3=0- \frac{4 \left(\sin{\left(\frac{2}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=8740.13329944166x_{1} = 8740.13329944166
x2=−7834.13393387183x_{2} = -7834.13393387183
x3=9176.25286963735x_{3} = 9176.25286963735
x4=−5653.62082879211x_{4} = -5653.62082879211
x5=2417.24851954184x_{5} = 2417.24851954184
x6=2853.14522726108x_{6} = 2853.14522726108
x7=4161.14243190697x_{7} = 4161.14243190697
x8=8085.95817086979x_{8} = 8085.95817086979
x9=7867.90110932129x_{9} = 7867.90110932129
x10=5469.34278007864x_{10} = 5469.34278007864
x11=−7179.96792970038x_{11} = -7179.96792970038
x12=6341.52704940556x_{12} = 6341.52704940556
x13=−9796.6677654438x_{13} = -9796.6677654438
x14=−10668.9166283335x_{14} = -10668.9166283335
x15=−2165.5947429753x_{15} = -2165.5947429753
x16=−4781.46394739085x_{16} = -4781.46394739085
x17=10920.7478395896x_{17} = 10920.7478395896
x18=8304.01592427651x_{18} = 8304.01592427651
x19=7431.7893055252x_{19} = 7431.7893055252
x20=−3473.34561352013x_{20} = -3473.34561352013
x21=4379.16664113042x_{21} = 4379.16664113042
x22=5033.26321765695x_{22} = 5033.26321765695
x23=6123.47839909973x_{23} = 6123.47839909973
x24=−5871.66581150411x_{24} = -5871.66581150411
x25=−4345.40420079964x_{25} = -4345.40420079964
x26=−3037.36430751844x_{26} = -3037.36430751844
x27=2199.33656575618x_{27} = 2199.33656575618
x28=9394.31338230375x_{28} = 9394.31338230375
x29=8958.19283020522x_{29} = 8958.19283020522
x30=9830.43570132865x_{30} = 9830.43570132865
x31=−7616.07774581822x_{31} = -7616.07774581822
x32=1981.45962670866x_{32} = 1981.45962670866
x33=6777.62851803901x_{33} = 6777.62851803901
x34=−6961.91446209839x_{34} = -6961.91446209839
x35=−5217.53719960639x_{35} = -5217.53719960639
x36=−4999.49910645863x_{36} = -4999.49910645863
x37=−3255.34961881752x_{37} = -3255.34961881752
x38=3725.11020116718x_{38} = 3725.11020116718
x39=8522.07431640944x_{39} = 8522.07431640944
x40=9612.3743359868x_{40} = 9612.3743359868
x41=6995.6810763623x_{41} = 6995.6810763623
x42=7213.73470357119x_{42} = 7213.73470357119
x43=−2819.39216648416x_{43} = -2819.39216648416
x44=−5435.57787334662x_{44} = -5435.57787334662
x45=−10014.7294575036x_{45} = -10014.7294575036
x46=−8488.30682846758x_{46} = -8488.30682846758
x47=−6525.81088945375x_{47} = -6525.81088945375
x48=−6743.86207908362x_{48} = -6743.86207908362
x49=10484.6220103772x_{49} = 10484.6220103772
x50=−4563.43214355915x_{50} = -4563.43214355915
x51=−9360.54557508922x_{51} = -9360.54557508922
x52=10048.4974515208x_{52} = 10048.4974515208
x53=3071.11960782687x_{53} = 3071.11960782687
x54=−9578.60646224368x_{54} = -9578.60646224368
x55=10702.6847758977x_{55} = 10702.6847758977
x56=−1947.72427584374x_{56} = -1947.72427584374
x57=−10450.853910808x_{57} = -10450.853910808
x58=−8706.36572263178x_{58} = -8706.36572263178
x59=−9142.48513376114x_{59} = -9142.48513376114
x60=−2383.50191553707x_{60} = -2383.50191553707
x61=−6307.76101706377x_{61} = -6307.76101706377
x62=−6089.71260352467x_{62} = -6089.71260352467
x63=6559.57713526949x_{63} = 6559.57713526949
x64=3943.1233196593x_{64} = 3943.1233196593
x65=−8270.24853231287x_{65} = -8270.24853231287
x66=−7398.02238592831x_{66} = -7398.02238592831
x67=−3909.36248726622x_{67} = -3909.36248726622
x68=7649.84479882467x_{68} = 7649.84479882467
x69=−2601.43652007892x_{69} = -2601.43652007892
x70=2635.18675646939x_{70} = 2635.18675646939
x71=1763.63079154054x_{71} = 1763.63079154054
x72=−4127.38073204553x_{72} = -4127.38073204553
x73=10266.5595620332x_{73} = 10266.5595620332
x74=5687.38606619832x_{74} = 5687.38606619832
x75=−10886.9796468819x_{75} = -10886.9796468819
x76=−10232.7915135555x_{76} = -10232.7915135555
x77=−3691.35039404942x_{77} = -3691.35039404942
x78=5251.30173343893x_{78} = 5251.30173343893
x79=3289.10672487821x_{79} = 3289.10672487821
x80=−8052.19088277393x_{80} = -8052.19088277393
x81=−8924.42517095214x_{81} = -8924.42517095214
x82=4597.19522099931x_{82} = 4597.19522099931
x83=4815.22757696356x_{83} = 4815.22757696356
x84=5905.43134350286x_{84} = 5905.43134350286
x85=3507.104196801x_{85} = 3507.104196801
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(2x)=1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞cos⁡(2x)=1\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(2x)=cos⁡(2x)\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}
- Sí
cos⁡(2x)=−cos⁡(2x)\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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