Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^2-1)
-
x*exp(-x)
-
x^3/(3-x^2)
-
x^3-x^2+2
- Límite de la función:
-
cos(2/x)
- Integral de d{x}:
- cos(2/x)
-
Expresiones idénticas
- cos(dos /x)
- coseno de (2 dividir por x)
- coseno de (dos dividir por x)
- cos2/x
- cos(2 dividir por x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos^2(x)-cos(x)
- cosx-x
- cosx*cos2x
- cos(x)*2
- cos(x)^2-sin(x)
Gráfico de la función y = cos(2/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/2\
f(x) = cos|-|
\x/
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}$$
f = cos(2/x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{4}{3 \pi}$$
$$x_{2} = \frac{4}{\pi}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.27323954473516$$
$$x_{2} = -1.27323954473516$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{4}{3 \pi}$$
$$x_{2} = \frac{4}{\pi}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.27323954473516$$
$$x_{2} = -1.27323954473516$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2}{\pi}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2}{\pi}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2}{\pi}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2}{\pi}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2}{\pi}$$
Signos de extremos en los puntos:
2 (--, -1) pi
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2}{\pi}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2}{\pi}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2}{\pi}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{4 \left(\sin{\left(\frac{2}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 8740.13329944166$$
$$x_{2} = -7834.13393387183$$
$$x_{3} = 9176.25286963735$$
$$x_{4} = -5653.62082879211$$
$$x_{5} = 2417.24851954184$$
$$x_{6} = 2853.14522726108$$
$$x_{7} = 4161.14243190697$$
$$x_{8} = 8085.95817086979$$
$$x_{9} = 7867.90110932129$$
$$x_{10} = 5469.34278007864$$
$$x_{11} = -7179.96792970038$$
$$x_{12} = 6341.52704940556$$
$$x_{13} = -9796.6677654438$$
$$x_{14} = -10668.9166283335$$
$$x_{15} = -2165.5947429753$$
$$x_{16} = -4781.46394739085$$
$$x_{17} = 10920.7478395896$$
$$x_{18} = 8304.01592427651$$
$$x_{19} = 7431.7893055252$$
$$x_{20} = -3473.34561352013$$
$$x_{21} = 4379.16664113042$$
$$x_{22} = 5033.26321765695$$
$$x_{23} = 6123.47839909973$$
$$x_{24} = -5871.66581150411$$
$$x_{25} = -4345.40420079964$$
$$x_{26} = -3037.36430751844$$
$$x_{27} = 2199.33656575618$$
$$x_{28} = 9394.31338230375$$
$$x_{29} = 8958.19283020522$$
$$x_{30} = 9830.43570132865$$
$$x_{31} = -7616.07774581822$$
$$x_{32} = 1981.45962670866$$
$$x_{33} = 6777.62851803901$$
$$x_{34} = -6961.91446209839$$
$$x_{35} = -5217.53719960639$$
$$x_{36} = -4999.49910645863$$
$$x_{37} = -3255.34961881752$$
$$x_{38} = 3725.11020116718$$
$$x_{39} = 8522.07431640944$$
$$x_{40} = 9612.3743359868$$
$$x_{41} = 6995.6810763623$$
$$x_{42} = 7213.73470357119$$
$$x_{43} = -2819.39216648416$$
$$x_{44} = -5435.57787334662$$
$$x_{45} = -10014.7294575036$$
$$x_{46} = -8488.30682846758$$
$$x_{47} = -6525.81088945375$$
$$x_{48} = -6743.86207908362$$
$$x_{49} = 10484.6220103772$$
$$x_{50} = -4563.43214355915$$
$$x_{51} = -9360.54557508922$$
$$x_{52} = 10048.4974515208$$
$$x_{53} = 3071.11960782687$$
$$x_{54} = -9578.60646224368$$
$$x_{55} = 10702.6847758977$$
$$x_{56} = -1947.72427584374$$
$$x_{57} = -10450.853910808$$
$$x_{58} = -8706.36572263178$$
$$x_{59} = -9142.48513376114$$
$$x_{60} = -2383.50191553707$$
$$x_{61} = -6307.76101706377$$
$$x_{62} = -6089.71260352467$$
$$x_{63} = 6559.57713526949$$
$$x_{64} = 3943.1233196593$$
$$x_{65} = -8270.24853231287$$
$$x_{66} = -7398.02238592831$$
$$x_{67} = -3909.36248726622$$
$$x_{68} = 7649.84479882467$$
$$x_{69} = -2601.43652007892$$
$$x_{70} = 2635.18675646939$$
$$x_{71} = 1763.63079154054$$
$$x_{72} = -4127.38073204553$$
$$x_{73} = 10266.5595620332$$
$$x_{74} = 5687.38606619832$$
$$x_{75} = -10886.9796468819$$
$$x_{76} = -10232.7915135555$$
$$x_{77} = -3691.35039404942$$
$$x_{78} = 5251.30173343893$$
$$x_{79} = 3289.10672487821$$
$$x_{80} = -8052.19088277393$$
$$x_{81} = -8924.42517095214$$
$$x_{82} = 4597.19522099931$$
$$x_{83} = 4815.22757696356$$
$$x_{84} = 5905.43134350286$$
$$x_{85} = 3507.104196801$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{4 \left(\sin{\left(\frac{2}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 8740.13329944166$$
$$x_{2} = -7834.13393387183$$
$$x_{3} = 9176.25286963735$$
$$x_{4} = -5653.62082879211$$
$$x_{5} = 2417.24851954184$$
$$x_{6} = 2853.14522726108$$
$$x_{7} = 4161.14243190697$$
$$x_{8} = 8085.95817086979$$
$$x_{9} = 7867.90110932129$$
$$x_{10} = 5469.34278007864$$
$$x_{11} = -7179.96792970038$$
$$x_{12} = 6341.52704940556$$
$$x_{13} = -9796.6677654438$$
$$x_{14} = -10668.9166283335$$
$$x_{15} = -2165.5947429753$$
$$x_{16} = -4781.46394739085$$
$$x_{17} = 10920.7478395896$$
$$x_{18} = 8304.01592427651$$
$$x_{19} = 7431.7893055252$$
$$x_{20} = -3473.34561352013$$
$$x_{21} = 4379.16664113042$$
$$x_{22} = 5033.26321765695$$
$$x_{23} = 6123.47839909973$$
$$x_{24} = -5871.66581150411$$
$$x_{25} = -4345.40420079964$$
$$x_{26} = -3037.36430751844$$
$$x_{27} = 2199.33656575618$$
$$x_{28} = 9394.31338230375$$
$$x_{29} = 8958.19283020522$$
$$x_{30} = 9830.43570132865$$
$$x_{31} = -7616.07774581822$$
$$x_{32} = 1981.45962670866$$
$$x_{33} = 6777.62851803901$$
$$x_{34} = -6961.91446209839$$
$$x_{35} = -5217.53719960639$$
$$x_{36} = -4999.49910645863$$
$$x_{37} = -3255.34961881752$$
$$x_{38} = 3725.11020116718$$
$$x_{39} = 8522.07431640944$$
$$x_{40} = 9612.3743359868$$
$$x_{41} = 6995.6810763623$$
$$x_{42} = 7213.73470357119$$
$$x_{43} = -2819.39216648416$$
$$x_{44} = -5435.57787334662$$
$$x_{45} = -10014.7294575036$$
$$x_{46} = -8488.30682846758$$
$$x_{47} = -6525.81088945375$$
$$x_{48} = -6743.86207908362$$
$$x_{49} = 10484.6220103772$$
$$x_{50} = -4563.43214355915$$
$$x_{51} = -9360.54557508922$$
$$x_{52} = 10048.4974515208$$
$$x_{53} = 3071.11960782687$$
$$x_{54} = -9578.60646224368$$
$$x_{55} = 10702.6847758977$$
$$x_{56} = -1947.72427584374$$
$$x_{57} = -10450.853910808$$
$$x_{58} = -8706.36572263178$$
$$x_{59} = -9142.48513376114$$
$$x_{60} = -2383.50191553707$$
$$x_{61} = -6307.76101706377$$
$$x_{62} = -6089.71260352467$$
$$x_{63} = 6559.57713526949$$
$$x_{64} = 3943.1233196593$$
$$x_{65} = -8270.24853231287$$
$$x_{66} = -7398.02238592831$$
$$x_{67} = -3909.36248726622$$
$$x_{68} = 7649.84479882467$$
$$x_{69} = -2601.43652007892$$
$$x_{70} = 2635.18675646939$$
$$x_{71} = 1763.63079154054$$
$$x_{72} = -4127.38073204553$$
$$x_{73} = 10266.5595620332$$
$$x_{74} = 5687.38606619832$$
$$x_{75} = -10886.9796468819$$
$$x_{76} = -10232.7915135555$$
$$x_{77} = -3691.35039404942$$
$$x_{78} = 5251.30173343893$$
$$x_{79} = 3289.10672487821$$
$$x_{80} = -8052.19088277393$$
$$x_{81} = -8924.42517095214$$
$$x_{82} = 4597.19522099931$$
$$x_{83} = 4815.22757696356$$
$$x_{84} = 5905.43134350286$$
$$x_{85} = 3507.104196801$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
True
True
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} = - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par