Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x-(lnx)/x

Gráfico de la función y = x-(lnx)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           log(x)
f(x) = x - ------
             x
f(x)=x−log⁡(x)xf{\left(x \right)} = x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} 
f = x - log(x)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−log⁡(x)x=0x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - log(x)/x.
−log⁡(0)0- \frac{\log{\left(0 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1+log⁡(x)x2−1x2=01 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3−2log⁡(x)x3=0\frac{3 - 2 \log{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e32x_{1} = e^{\frac{3}{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(3−2log⁡(x)x3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 - 2 \log{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(3−2log⁡(x)x3)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 - 2 \log{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e32]\left(-\infty, e^{\frac{3}{2}}\right]
Convexa en los intervalos
[e32,∞)\left[e^{\frac{3}{2}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−log⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x−log⁡(x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - log(x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−log⁡(x)xx)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x−log⁡(x)xx)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−log⁡(x)x=−x+log⁡(−x)xx - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} = - x + \frac{\log{\left(- x \right)}}{x}
- No
x−log⁡(x)x=x−log⁡(−x)xx - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} = x - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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