Sr Examen

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y=tg|x|-1
Trazado el gráfico de la función/ y=tg|x|-1

Gráfico de la función y = y=tg|x|-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = tan(|x|) - 1
f(x)=tan⁡(∣x∣)−1f{\left(x \right)} = \tan{\left(\left|{x}\right| \right)} - 1 
f = tan(|x|) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡(∣x∣)−1=0\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=−57.3340659280137x_{1} = -57.3340659280137
x2=32.2013246992954x_{2} = 32.2013246992954
x3=63.6172512351933x_{3} = 63.6172512351933
x4=−32.2013246992954x_{4} = -32.2013246992954
x5=−73.0420291959627x_{5} = -73.0420291959627
x6=−25.9181393921158x_{6} = -25.9181393921158
x7=35.3429173528852x_{7} = 35.3429173528852
x8=88.7499924639117x_{8} = 88.7499924639117
x9=82.4668071567321x_{9} = 82.4668071567321
x10=−38.484510006475x_{10} = -38.484510006475
x11=−22.776546738526x_{11} = -22.776546738526
x12=−88.7499924639117x_{12} = -88.7499924639117
x13=−35.3429173528852x_{13} = -35.3429173528852
x14=98.174770424681x_{14} = 98.174770424681
x15=95.0331777710912x_{15} = 95.0331777710912
x16=19.6349540849362x_{16} = 19.6349540849362
x17=−3.92699081698724x_{17} = -3.92699081698724
x18=60.4756585816035x_{18} = 60.4756585816035
x19=85.6083998103219x_{19} = 85.6083998103219
x20=47.9092879672443x_{20} = 47.9092879672443
x21=−69.9004365423729x_{21} = -69.9004365423729
x22=−91.8915851175014x_{22} = -91.8915851175014
x23=−63.6172512351933x_{23} = -63.6172512351933
x24=29.0597320457056x_{24} = 29.0597320457056
x25=−29.0597320457056x_{25} = -29.0597320457056
x26=−13.3517687777566x_{26} = -13.3517687777566
x27=−95.0331777710912x_{27} = -95.0331777710912
x28=−98.174770424681x_{28} = -98.174770424681
x29=−101.316363078271x_{29} = -101.316363078271
x30=22.776546738526x_{30} = 22.776546738526
x31=−82.4668071567321x_{31} = -82.4668071567321
x32=−19.6349540849362x_{32} = -19.6349540849362
x33=−79.3252145031423x_{33} = -79.3252145031423
x34=−16.4933614313464x_{34} = -16.4933614313464
x35=13.3517687777566x_{35} = 13.3517687777566
x36=25.9181393921158x_{36} = 25.9181393921158
x37=−7.06858347057703x_{37} = -7.06858347057703
x38=−44.7676953136546x_{38} = -44.7676953136546
x39=73.0420291959627x_{39} = 73.0420291959627
x40=−66.7588438887831x_{40} = -66.7588438887831
x41=91.8915851175014x_{41} = 91.8915851175014
x42=10.2101761241668x_{42} = 10.2101761241668
x43=76.1836218495525x_{43} = 76.1836218495525
x44=−47.9092879672443x_{44} = -47.9092879672443
x45=0.785398163397448x_{45} = 0.785398163397448
x46=101.316363078271x_{46} = 101.316363078271
x47=−85.6083998103219x_{47} = -85.6083998103219
x48=−76.1836218495525x_{48} = -76.1836218495525
x49=44.7676953136546x_{49} = 44.7676953136546
x50=−51.0508806208341x_{50} = -51.0508806208341
x51=−41.6261026600648x_{51} = -41.6261026600648
x52=−54.1924732744239x_{52} = -54.1924732744239
x53=−60.4756585816035x_{53} = -60.4756585816035
x54=3.92699081698724x_{54} = 3.92699081698724
x55=16.4933614313464x_{55} = 16.4933614313464
x56=41.6261026600648x_{56} = 41.6261026600648
x57=79.3252145031423x_{57} = 79.3252145031423
x58=69.9004365423729x_{58} = 69.9004365423729
x59=54.1924732744239x_{59} = 54.1924732744239
x60=57.3340659280137x_{60} = 57.3340659280137
x61=−10.2101761241668x_{61} = -10.2101761241668
x62=38.484510006475x_{62} = 38.484510006475
x63=7.06858347057703x_{63} = 7.06858347057703
x64=51.0508806208341x_{64} = 51.0508806208341
x65=66.7588438887831x_{65} = 66.7588438887831
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(|x|) - 1.
−1+tan⁡(∣0∣)-1 + \tan{\left(\left|{0}\right| \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(tan⁡2(∣x∣)+1)sign⁡(x)=0\left(\tan^{2}{\left(\left|{x}\right| \right)} + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(tan⁡(∣x∣)sign⁡2(x)+δ(x))(tan⁡2(∣x∣)+1)=02 \left(\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} + \delta\left(x\right)\right) \left(\tan^{2}{\left(\left|{x}\right| \right)} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,π]\left(-\infty, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(tan⁡(∣x∣)−1)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} - 1\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(tan⁡(∣x∣)−1)y = \lim_{x \to \infty}\left(\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} - 1\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(|x|) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(tan⁡(∣x∣)−1x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} - 1}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(tan⁡(∣x∣)−1x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} - 1}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡(∣x∣)−1=tan⁡(∣x∣)−1\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} - 1 = \tan{\left(\left|{x}\right| \right)} - 1
- Sí
tan⁡(∣x∣)−1=1−tan⁡(∣x∣)\tan{\left(\left|{x}\right| \right)} - 1 = 1 - \tan{\left(\left|{x}\right| \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = y=tg|x|-1
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