Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)*asin(x)

Gráfico de la función y = sin(x)*asin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x)*asin(x)
f(x)=sin⁡(x)asin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)} 
f = sin(x)*asin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)asin⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−75.398223686155x_{1} = -75.398223686155
x2=25.1327412287183x_{2} = 25.1327412287183
x3=−81.6814089933346x_{3} = -81.6814089933346
x4=−69.1150383789755x_{4} = -69.1150383789755
x5=−12.5663706143592x_{5} = -12.5663706143592
x6=−40.8407044966673x_{6} = -40.8407044966673
x7=−3.14159265358979x_{7} = -3.14159265358979
x8=−53.4070751110265x_{8} = -53.4070751110265
x9=28.2743338823081x_{9} = 28.2743338823081
x10=−9.42477796076938x_{10} = -9.42477796076938
x11=−59.6902604182061x_{11} = -59.6902604182061
x12=53.4070751110265x_{12} = 53.4070751110265
x13=−84.8230016469244x_{13} = -84.8230016469244
x14=−47.1238898038469x_{14} = -47.1238898038469
x15=91.106186954104x_{15} = 91.106186954104
x16=97.3893722612836x_{16} = 97.3893722612836
x17=9.42477796076938x_{17} = 9.42477796076938
x18=−91.106186954104x_{18} = -91.106186954104
x19=40.8407044966673x_{19} = 40.8407044966673
x20=0x_{20} = 0
x21=65.9734457253857x_{21} = 65.9734457253857
x22=3.14159265358979x_{22} = 3.14159265358979
x23=−62.8318530717959x_{23} = -62.8318530717959
x24=−37.6991118430775x_{24} = -37.6991118430775
x25=69.1150383789755x_{25} = 69.1150383789755
x26=37.6991118430775x_{26} = 37.6991118430775
x27=−28.2743338823081x_{27} = -28.2743338823081
x28=75.398223686155x_{28} = 75.398223686155
x29=−18.8495559215388x_{29} = -18.8495559215388
x30=62.8318530717959x_{30} = 62.8318530717959
x31=94.2477796076938x_{31} = 94.2477796076938
x32=87.9645943005142x_{32} = 87.9645943005142
x33=12.5663706143592x_{33} = 12.5663706143592
x34=−50.2654824574367x_{34} = -50.2654824574367
x35=6.28318530717959x_{35} = 6.28318530717959
x36=18.8495559215388x_{36} = 18.8495559215388
x37=−87.9645943005142x_{37} = -87.9645943005142
x38=56.5486677646163x_{38} = 56.5486677646163
x39=78.5398163397448x_{39} = 78.5398163397448
x40=31.4159265358979x_{40} = 31.4159265358979
x41=−78.5398163397448x_{41} = -78.5398163397448
x42=34.5575191894877x_{42} = 34.5575191894877
x43=72.2566310325652x_{43} = 72.2566310325652
x44=15.707963267949x_{44} = 15.707963267949
x45=59.6902604182061x_{45} = 59.6902604182061
x46=−97.3893722612836x_{46} = -97.3893722612836
x47=−65.9734457253857x_{47} = -65.9734457253857
x48=−34.5575191894877x_{48} = -34.5575191894877
x49=−6.28318530717959x_{49} = -6.28318530717959
x50=21.9911485751286x_{50} = 21.9911485751286
x51=−21.9911485751286x_{51} = -21.9911485751286
x52=84.8230016469244x_{52} = 84.8230016469244
x53=43.9822971502571x_{53} = 43.9822971502571
x54=81.6814089933346x_{54} = 81.6814089933346
x55=100.530964914873x_{55} = 100.530964914873
x56=−25.1327412287183x_{56} = -25.1327412287183
x57=50.2654824574367x_{57} = 50.2654824574367
x58=47.1238898038469x_{58} = 47.1238898038469
x59=−56.5486677646163x_{59} = -56.5486677646163
x60=−31.4159265358979x_{60} = -31.4159265358979
x61=−72.2566310325652x_{61} = -72.2566310325652
x62=−94.2477796076938x_{62} = -94.2477796076938
x63=−43.9822971502571x_{63} = -43.9822971502571
x64=−100.530964914873x_{64} = -100.530964914873
x65=−15.707963267949x_{65} = -15.707963267949
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)*asin(x).
sin⁡(0)asin⁡(0)\sin{\left(0 \right)} \operatorname{asin}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)asin⁡(x)+sin⁡(x)1−x2=0\cos{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)asin⁡(x))=⟨−∞,∞⟩i\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩iy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle i
lim⁡x→∞(sin⁡(x)asin⁡(x))=⟨−∞,∞⟩i\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩iy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle i
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)*asin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)asin⁡(x)x)=⟨−1,1⟩lim⁡x→0−(xasin⁡(1x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle \lim_{x \to 0^-}\left(x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩xlim⁡x→0−(xasin⁡(1x))y = \left\langle -1, 1\right\rangle x \lim_{x \to 0^-}\left(x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)
lim⁡x→∞(sin⁡(x)asin⁡(x)x)=⟨−1,1⟩lim⁡x→0+(xasin⁡(1x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle \lim_{x \to 0^+}\left(x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−1,1⟩xlim⁡x→0+(xasin⁡(1x))y = \left\langle -1, 1\right\rangle x \lim_{x \to 0^+}\left(x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)asin⁡(x)=sin⁡(x)asin⁡(x)\sin{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)asin⁡(x)=−sin⁡(x)asin⁡(x)\sin{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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