Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -2*(sin(x)+cos(x))*e^x

Gráfico de la función y = -2*(sin(x)+cos(x))*e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                             x
f(x) = -2*(sin(x) + cos(x))*E
f(x)=ex(−2(sin⁡(x)+cos⁡(x)))f{\left(x \right)} = e^{x} \left(- 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) 
f = E^x*(-2*(sin(x) + cos(x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50000100000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex(−2(sin⁡(x)+cos⁡(x)))=0e^{x} \left(- 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=−0.785398163397448x_{1} = -0.785398163397448
x2=−38.484510006475x_{2} = -38.484510006475
x3=−73.0420291959627x_{3} = -73.0420291959627
x4=18.0641577581413x_{4} = 18.0641577581413
x5=8.63937979737193x_{5} = 8.63937979737193
x6=24.3473430653209x_{6} = 24.3473430653209
x7=−41.6261026600648x_{7} = -41.6261026600648
x8=−101.316363078271x_{8} = -101.316363078271
x9=−85.6083998103219x_{9} = -85.6083998103219
x10=−35.3429173528852x_{10} = -35.3429173528852
x11=−22.776546738526x_{11} = -22.776546738526
x12=−66.7588438887831x_{12} = -66.7588438887831
x13=−69.9004365423729x_{13} = -69.9004365423729
x14=−19.6349540849362x_{14} = -19.6349540849362
x15=30.6305283725005x_{15} = 30.6305283725005
x16=−13.3517687777566x_{16} = -13.3517687777566
x17=−3.92699081698724x_{17} = -3.92699081698724
x18=−82.4668071567321x_{18} = -82.4668071567321
x19=−63.6172512351933x_{19} = -63.6172512351933
x20=11.7809724509617x_{20} = 11.7809724509617
x21=−10.2101761241668x_{21} = -10.2101761241668
x22=27.4889357189107x_{22} = 27.4889357189107
x23=−88.7499924639117x_{23} = -88.7499924639117
x24=−76.1836218495525x_{24} = -76.1836218495525
x25=−57.4855049151225x_{25} = -57.4855049151225
x26=−29.0597320457056x_{26} = -29.0597320457056
x27=−60.4756585816035x_{27} = -60.4756585816035
x28=−32.2013246992954x_{28} = -32.2013246992954
x29=−7.06858347057703x_{29} = -7.06858347057703
x30=−91.8915851175014x_{30} = -91.8915851175014
x31=−98.174770424681x_{31} = -98.174770424681
x32=−79.3252145031423x_{32} = -79.3252145031423
x33=−107.59954838545x_{33} = -107.59954838545
x34=−54.1924732744239x_{34} = -54.1924732744239
x35=21.2057504117311x_{35} = 21.2057504117311
x36=−95.0331777710912x_{36} = -95.0331777710912
x37=5.49778714378214x_{37} = 5.49778714378214
x38=−57.3340659280137x_{38} = -57.3340659280137
x39=−51.0508806208341x_{39} = -51.0508806208341
x40=−25.9181393921158x_{40} = -25.9181393921158
x41=2.35619449019234x_{41} = 2.35619449019234
x42=14.9225651045515x_{42} = 14.9225651045515
x43=−47.9092879672443x_{43} = -47.9092879672443
x44=−16.4933614313464x_{44} = -16.4933614313464
x45=−44.7676953136546x_{45} = -44.7676953136546
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-2*(sin(x) + cos(x)))*E^x.
e0(−2(sin⁡(0)+cos⁡(0)))e^{0} \left(- 2 \left(\sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}\right)\right)
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))ex+(2sin⁡(x)−2cos⁡(x))ex=0- 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(2 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
         pi 
         -- 
 pi      2  
(--, -2*e  )
 2          

          3*pi 
          ---- 
 3*pi      2   
(----, 2*e    )
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Decrece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(sin⁡(x)−cos⁡(x))ex=04 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−3π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−3π4,π4]\left[- \frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex(−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(- 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex(−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(- 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right)\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-2*(sin(x) + cos(x)))*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))exx)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex(−2(sin⁡(x)+cos⁡(x)))=(2sin⁡(x)−2cos⁡(x))e−xe^{x} \left(- 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) = \left(2 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}
- No
ex(−2(sin⁡(x)+cos⁡(x)))=−(2sin⁡(x)−2cos⁡(x))e−xe^{x} \left(- 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) = - \left(2 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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