Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(log(cos(x),2))

Gráfico de la función y = sqrt(log(cos(x),2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ________________
f(x) = \/ log(cos(x), 2)
f(x)=log⁡(cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} 
f = sqrt(log(cos(x, 2)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(cos⁡(x))=0\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Solución numérica
x1=−18.8495559215388x_{1} = -18.8495559215388
x2=12.5663706143592x_{2} = 12.5663706143592
x3=−37.6991118430775x_{3} = -37.6991118430775
x4=−56.5486677646163x_{4} = -56.5486677646163
x5=56.5486677646163x_{5} = 56.5486677646163
x6=−31.4159265358979x_{6} = -31.4159265358979
x7=37.6991118430775x_{7} = 37.6991118430775
x8=69.1150383789755x_{8} = 69.1150383789755
x9=94.2477796076938x_{9} = 94.2477796076938
x10=−75.398223686155x_{10} = -75.398223686155
x11=0x_{11} = 0
x12=−87.9645943005142x_{12} = -87.9645943005142
x13=81.6814089933346x_{13} = 81.6814089933346
x14=62.8318530717959x_{14} = 62.8318530717959
x15=100.530964914873x_{15} = 100.530964914873
x16=−50.2654824574367x_{16} = -50.2654824574367
x17=75.398223686155x_{17} = 75.398223686155
x18=6.28318530717959x_{18} = 6.28318530717959
x19=−6.28318530717959x_{19} = -6.28318530717959
x20=31.4159265358979x_{20} = 31.4159265358979
x21=−94.2477796076938x_{21} = -94.2477796076938
x22=25.1327412287183x_{22} = 25.1327412287183
x23=18.8495559215388x_{23} = 18.8495559215388
x24=−25.1327412287183x_{24} = -25.1327412287183
x25=−81.6814089933346x_{25} = -81.6814089933346
x26=−100.530964914873x_{26} = -100.530964914873
x27=−43.9822971502571x_{27} = -43.9822971502571
x28=87.9645943005142x_{28} = 87.9645943005142
x29=50.2654824574367x_{29} = 50.2654824574367
x30=−62.8318530717959x_{30} = -62.8318530717959
x31=−69.1150383789755x_{31} = -69.1150383789755
x32=−12.5663706143592x_{32} = -12.5663706143592
x33=43.9822971502571x_{33} = 43.9822971502571
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(log(cos(x), 2)).
log⁡(cos⁡(0))\sqrt{\log{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)2log⁡(cos⁡(x))cos⁡(x)=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
       ____   ___ 
     \/ pi *\/ I  
(pi, ------------)
        ________  
      \/ log(2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡2(x)cos⁡2(x)+2+sin⁡2(x)log⁡(cos⁡(x))cos⁡2(x)4log⁡(cos⁡(x))=0- \frac{\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}}{4 \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(cos⁡(x))=log⁡(⟨−1,1⟩)log⁡(2)\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} = \frac{\sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}}}{\sqrt{\log{\left(2 \right)}}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)log⁡(2)y = \frac{\sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}}}{\sqrt{\log{\left(2 \right)}}}
lim⁡x→∞log⁡(cos⁡(x))=log⁡(⟨−1,1⟩)log⁡(2)\lim_{x \to \infty} \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} = \frac{\sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}}}{\sqrt{\log{\left(2 \right)}}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)log⁡(2)y = \frac{\sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}}}{\sqrt{\log{\left(2 \right)}}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(log(cos(x), 2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(cos⁡(x))=log⁡(cos⁡(x))\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} = \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}
- Sí
log⁡(cos⁡(x))=−log⁡(cos⁡(x))\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} = - \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}
- No
es decir, función
es
par
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