Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2*exp(1)^x-2^x+1/x-3*log(x)

Gráfico de la función y = 2*exp(1)^x-2^x+1/x-3*log(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             x                    
         / 1\     x   1           
f(x) = 2*\e /  - 2  + - - 3*log(x)
                      x
f(x)=((−2x+2(e1)x)+1x)−3log⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(\left(- 2^{x} + 2 \left(e^{1}\right)^{x}\right) + \frac{1}{x}\right) - 3 \log{\left(x \right)} 
f = -2^x + 2*exp(1)^x + 1/x - 3*log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((−2x+2(e1)x)+1x)−3log⁡(x)=0\left(\left(- 2^{x} + 2 \left(e^{1}\right)^{x}\right) + \frac{1}{x}\right) - 3 \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*exp(1)^x - 2^x + 1/x - 3*log(x).
−3log⁡(0)+(10+(−20+2(e1)0))- 3 \log{\left(0 \right)} + \left(\frac{1}{0} + \left(- 2^{0} + 2 \left(e^{1}\right)^{0}\right)\right)
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xlog⁡(2)+2ex−3x−1x2=0- 2^{x} \log{\left(2 \right)} + 2 e^{x} - \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.994705717468662x_{1} = 0.994705717468662
Signos de extremos en los puntos:
(0.9947057174686623, 4.43643049604121)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0.994705717468662x_{1} = 0.994705717468662
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0.994705717468662,∞)\left[0.994705717468662, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0.994705717468662]\left(-\infty, 0.994705717468662\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2xlog⁡(2)2+2ex+3x2+2x3=0- 2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} + 2 e^{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((−2x+2(e1)x)+1x)−3log⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(- 2^{x} + 2 \left(e^{1}\right)^{x}\right) + \frac{1}{x}\right) - 3 \log{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((−2x+2(e1)x)+1x)−3log⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(- 2^{x} + 2 \left(e^{1}\right)^{x}\right) + \frac{1}{x}\right) - 3 \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*exp(1)^x - 2^x + 1/x - 3*log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((−2x+2(e1)x)+1x)−3log⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(- 2^{x} + 2 \left(e^{1}\right)^{x}\right) + \frac{1}{x}\right) - 3 \log{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(((−2x+2(e1)x)+1x)−3log⁡(x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(- 2^{x} + 2 \left(e^{1}\right)^{x}\right) + \frac{1}{x}\right) - 3 \log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((−2x+2(e1)x)+1x)−3log⁡(x)=−3log⁡(−x)+2e−x−1x−2−x\left(\left(- 2^{x} + 2 \left(e^{1}\right)^{x}\right) + \frac{1}{x}\right) - 3 \log{\left(x \right)} = - 3 \log{\left(- x \right)} + 2 e^{- x} - \frac{1}{x} - 2^{- x}
- No
((−2x+2(e1)x)+1x)−3log⁡(x)=3log⁡(−x)−2e−x+1x+2−x\left(\left(- 2^{x} + 2 \left(e^{1}\right)^{x}\right) + \frac{1}{x}\right) - 3 \log{\left(x \right)} = 3 \log{\left(- x \right)} - 2 e^{- x} + \frac{1}{x} + 2^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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