Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ |cos(x)|

Gráfico de la función y = |cos(x)|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = |cos(x)|
f(x)=∣cos⁡(x)∣f{\left(x \right)} = \left|{\cos{\left(x \right)}}\right| 
f = Abs(cos(x))
Gráfico de la función
-4.0-3.0-2.0-1.04.00.01.02.03.002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣cos⁡(x)∣=0\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=−1.5707963267949x_{1} = -1.5707963267949
x2=−64.4026493985908x_{2} = -64.4026493985908
x3=76.9690200129499x_{3} = 76.9690200129499
x4=−23.5619449019235x_{4} = -23.5619449019235
x5=−58.1194640914112x_{5} = -58.1194640914112
x6=80.1106126665397x_{6} = 80.1106126665397
x7=61.261056745001x_{7} = 61.261056745001
x8=−48.6946861306418x_{8} = -48.6946861306418
x9=−29.845130209103x_{9} = -29.845130209103
x10=−4.71238898038469x_{10} = -4.71238898038469
x11=−86.3937979737193x_{11} = -86.3937979737193
x12=−36.1283155162826x_{12} = -36.1283155162826
x13=−98.9601685880785x_{13} = -98.9601685880785
x14=1.5707963267949x_{14} = 1.5707963267949
x15=−39.2699081698724x_{15} = -39.2699081698724
x16=73.8274273593601x_{16} = 73.8274273593601
x17=−92.6769832808989x_{17} = -92.6769832808989
x18=42.4115008234622x_{18} = 42.4115008234622
x19=67.5442420521806x_{19} = 67.5442420521806
x20=−32.9867228626928x_{20} = -32.9867228626928
x21=14.1371669411541x_{21} = 14.1371669411541
x22=4.71238898038469x_{22} = 4.71238898038469
x23=32.9867228626928x_{23} = 32.9867228626928
x24=−10.9955742875643x_{24} = -10.9955742875643
x25=70.6858347057703x_{25} = 70.6858347057703
x26=20.4203522483337x_{26} = 20.4203522483337
x27=−70.6858347057703x_{27} = -70.6858347057703
x28=−26.7035375555132x_{28} = -26.7035375555132
x29=10.9955742875643x_{29} = 10.9955742875643
x30=23.5619449019235x_{30} = 23.5619449019235
x31=45.553093477052x_{31} = 45.553093477052
x32=83.2522053201295x_{32} = 83.2522053201295
x33=−67.5442420521806x_{33} = -67.5442420521806
x34=−89.5353906273091x_{34} = -89.5353906273091
x35=−54.9778714378214x_{35} = -54.9778714378214
x36=95.8185759344887x_{36} = 95.8185759344887
x37=−17.2787595947439x_{37} = -17.2787595947439
x38=26.7035375555132x_{38} = 26.7035375555132
x39=17.2787595947439x_{39} = 17.2787595947439
x40=−42.4115008234622x_{40} = -42.4115008234622
x41=54.9778714378214x_{41} = 54.9778714378214
x42=−7.85398163397448x_{42} = -7.85398163397448
x43=48.6946861306418x_{43} = 48.6946861306418
x44=−51.8362787842316x_{44} = -51.8362787842316
x45=89.5353906273091x_{45} = 89.5353906273091
x46=92.6769832808989x_{46} = 92.6769832808989
x47=−80.1106126665397x_{47} = -80.1106126665397
x48=−73.8274273593601x_{48} = -73.8274273593601
x49=86.3937979737193x_{49} = 86.3937979737193
x50=−76.9690200129499x_{50} = -76.9690200129499
x51=51.8362787842316x_{51} = 51.8362787842316
x52=39.2699081698724x_{52} = 39.2699081698724
x53=−20.4203522483337x_{53} = -20.4203522483337
x54=64.4026493985908x_{54} = 64.4026493985908
x55=−83.2522053201295x_{55} = -83.2522053201295
x56=98.9601685880785x_{56} = 98.9601685880785
x57=7.85398163397448x_{57} = 7.85398163397448
x58=−95.8185759344887x_{58} = -95.8185759344887
x59=−14.1371669411541x_{59} = -14.1371669411541
x60=29.845130209103x_{60} = 29.845130209103
x61=−45.553093477052x_{61} = -45.553093477052
x62=−61.261056745001x_{62} = -61.261056745001
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(cos(x)).
∣cos⁡(0)∣\left|{\cos{\left(0 \right)}}\right|
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)sign⁡(cos⁡(x))=0- \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡2(x)δ(cos⁡(x))−cos⁡(x)sign⁡(cos⁡(x))=02 \sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)}\right) - \cos{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣cos⁡(x)∣=∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to -\infty} \left|{\cos{\left(x \right)}}\right| = \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∣⟨−1,1⟩∣y = \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
lim⁡x→∞∣cos⁡(x)∣=∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to \infty} \left|{\cos{\left(x \right)}}\right| = \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∣⟨−1,1⟩∣y = \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣cos⁡(x)∣x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣cos⁡(x)∣x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣cos⁡(x)∣=∣cos⁡(x)∣\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| = \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|
- Sí
∣cos⁡(x)∣=−∣cos⁡(x)∣\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| = - \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|
- No
es decir, función
es
par
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