Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
3/(x^2+1)
-
Expresiones idénticas
- sin(x)^ tres +cos(x)^ tres
- seno de (x) al cubo más coseno de (x) al cubo
- seno de (x) en el grado tres más coseno de (x) en el grado tres
- sin(x)3+cos(x)3
- sinx3+cosx3
- sin(x)³+cos(x)³
- sin(x) en el grado 3+cos(x) en el grado 3
- sinx^3+cosx^3
-
Expresiones semejantes
- sin(x)^3-cos(x)^3
- sinx^3+cosx^3
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)+x
- sin(x)*sin(3*x)
- sin(x)/sin(x+pi/4)
- sinx+cos^2x
- sin(x)*cos(x)^(2)
- Coseno cos
- cos(x)+exp(x)+exp(-x)+sin(x)
- cos(x)-3
- cos(x)*4*x
- cos(x)/8+cos(3*x)+sin(3*x)
- cos(x)+1/cos(x)
Gráfico de la función y = sin(x)^3+cos(x)^3
Solución
Ha introducido
[src]
3 3 f(x) = sin (x) + cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^3 + cos(x)^3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 90.3207887907066$$
$$x_{2} = -38.484510006475$$
$$x_{3} = 18.0641577581413$$
$$x_{4} = 8.63937979737193$$
$$x_{5} = 24.3473430653209$$
$$x_{6} = -41.6261026600648$$
$$x_{7} = 80.8960108299372$$
$$x_{8} = -85.6083998103219$$
$$x_{9} = -35.3429173528852$$
$$x_{10} = 150.011049208913$$
$$x_{11} = 99.7455667514759$$
$$x_{12} = -69.9004365423729$$
$$x_{13} = 40.0553063332699$$
$$x_{14} = -19.6349540849362$$
$$x_{15} = 52.621676947629$$
$$x_{16} = 30.6305283725005$$
$$x_{17} = 84.037603483527$$
$$x_{18} = 96.6039740978861$$
$$x_{19} = -13.3517687777566$$
$$x_{20} = -3.92699081698724$$
$$x_{21} = -82.4668071567321$$
$$x_{22} = -63.6172512351933$$
$$x_{23} = 58.9048622548086$$
$$x_{24} = 36.9137136796801$$
$$x_{25} = 11.7809724509617$$
$$x_{26} = -10.2101761241668$$
$$x_{27} = -76.1836218495525$$
$$x_{28} = 46.3384916404494$$
$$x_{29} = 62.0464549083984$$
$$x_{30} = -60.4756585816035$$
$$x_{31} = -32.2013246992954$$
$$x_{32} = 68.329640215578$$
$$x_{33} = 71.4712328691678$$
$$x_{34} = -3902.64347392192$$
$$x_{35} = -91.8915851175014$$
$$x_{36} = 1262.1348485797$$
$$x_{37} = 55.7632696012188$$
$$x_{38} = -98.174770424681$$
$$x_{39} = -79.3252145031423$$
$$x_{40} = -54.1924732744239$$
$$x_{41} = 5.49778714378214$$
$$x_{42} = -57.3340659280137$$
$$x_{43} = 77.7544181763474$$
$$x_{44} = -25.9181393921158$$
$$x_{45} = 74.6128255227576$$
$$x_{46} = 2.35619449019234$$
$$x_{47} = -204.988920646734$$
$$x_{48} = -47.9092879672443$$
$$x_{49} = 33.7721210260903$$
$$x_{50} = -16.4933614313464$$
$$x_{51} = -44.7676953136546$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 90.3207887907066$$
$$x_{2} = -38.484510006475$$
$$x_{3} = 18.0641577581413$$
$$x_{4} = 8.63937979737193$$
$$x_{5} = 24.3473430653209$$
$$x_{6} = -41.6261026600648$$
$$x_{7} = 80.8960108299372$$
$$x_{8} = -85.6083998103219$$
$$x_{9} = -35.3429173528852$$
$$x_{10} = 150.011049208913$$
$$x_{11} = 99.7455667514759$$
$$x_{12} = -69.9004365423729$$
$$x_{13} = 40.0553063332699$$
$$x_{14} = -19.6349540849362$$
$$x_{15} = 52.621676947629$$
$$x_{16} = 30.6305283725005$$
$$x_{17} = 84.037603483527$$
$$x_{18} = 96.6039740978861$$
$$x_{19} = -13.3517687777566$$
$$x_{20} = -3.92699081698724$$
$$x_{21} = -82.4668071567321$$
$$x_{22} = -63.6172512351933$$
$$x_{23} = 58.9048622548086$$
$$x_{24} = 36.9137136796801$$
$$x_{25} = 11.7809724509617$$
$$x_{26} = -10.2101761241668$$
$$x_{27} = -76.1836218495525$$
$$x_{28} = 46.3384916404494$$
$$x_{29} = 62.0464549083984$$
$$x_{30} = -60.4756585816035$$
$$x_{31} = -32.2013246992954$$
$$x_{32} = 68.329640215578$$
$$x_{33} = 71.4712328691678$$
$$x_{34} = -3902.64347392192$$
$$x_{35} = -91.8915851175014$$
$$x_{36} = 1262.1348485797$$
$$x_{37} = 55.7632696012188$$
$$x_{38} = -98.174770424681$$
$$x_{39} = -79.3252145031423$$
$$x_{40} = -54.1924732744239$$
$$x_{41} = 5.49778714378214$$
$$x_{42} = -57.3340659280137$$
$$x_{43} = 77.7544181763474$$
$$x_{44} = -25.9181393921158$$
$$x_{45} = 74.6128255227576$$
$$x_{46} = 2.35619449019234$$
$$x_{47} = -204.988920646734$$
$$x_{48} = -47.9092879672443$$
$$x_{49} = 33.7721210260903$$
$$x_{50} = -16.4933614313464$$
$$x_{51} = -44.7676953136546$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
___ -3*pi -\/ 2 (-----, -------) 4 2
-pi (----, -1) 2
___ pi \/ 2 (--, -----) 4 2
pi (--, 1) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 \left(- \sin^{3}{\left(x \right)} + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}$$
$$x_{6} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 \left(- \sin^{3}{\left(x \right)} + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}$$
$$x_{6} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^3 + cos(x)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = - \sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- No
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)} - \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = - \sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- No
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)} - \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar