Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)^3+cos(x)^3

Gráfico de la función y = sin(x)^3+cos(x)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3         3   
f(x) = sin (x) + cos (x)
f(x)=sin⁡3(x)+cos⁡3(x)f{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} 
f = sin(x)^3 + cos(x)^3
Gráfico de la función
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.002-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡3(x)+cos⁡3(x)=0\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=90.3207887907066x_{1} = 90.3207887907066
x2=−38.484510006475x_{2} = -38.484510006475
x3=18.0641577581413x_{3} = 18.0641577581413
x4=8.63937979737193x_{4} = 8.63937979737193
x5=24.3473430653209x_{5} = 24.3473430653209
x6=−41.6261026600648x_{6} = -41.6261026600648
x7=80.8960108299372x_{7} = 80.8960108299372
x8=−85.6083998103219x_{8} = -85.6083998103219
x9=−35.3429173528852x_{9} = -35.3429173528852
x10=150.011049208913x_{10} = 150.011049208913
x11=99.7455667514759x_{11} = 99.7455667514759
x12=−69.9004365423729x_{12} = -69.9004365423729
x13=40.0553063332699x_{13} = 40.0553063332699
x14=−19.6349540849362x_{14} = -19.6349540849362
x15=52.621676947629x_{15} = 52.621676947629
x16=30.6305283725005x_{16} = 30.6305283725005
x17=84.037603483527x_{17} = 84.037603483527
x18=96.6039740978861x_{18} = 96.6039740978861
x19=−13.3517687777566x_{19} = -13.3517687777566
x20=−3.92699081698724x_{20} = -3.92699081698724
x21=−82.4668071567321x_{21} = -82.4668071567321
x22=−63.6172512351933x_{22} = -63.6172512351933
x23=58.9048622548086x_{23} = 58.9048622548086
x24=36.9137136796801x_{24} = 36.9137136796801
x25=11.7809724509617x_{25} = 11.7809724509617
x26=−10.2101761241668x_{26} = -10.2101761241668
x27=−76.1836218495525x_{27} = -76.1836218495525
x28=46.3384916404494x_{28} = 46.3384916404494
x29=62.0464549083984x_{29} = 62.0464549083984
x30=−60.4756585816035x_{30} = -60.4756585816035
x31=−32.2013246992954x_{31} = -32.2013246992954
x32=68.329640215578x_{32} = 68.329640215578
x33=71.4712328691678x_{33} = 71.4712328691678
x34=−3902.64347392192x_{34} = -3902.64347392192
x35=−91.8915851175014x_{35} = -91.8915851175014
x36=1262.1348485797x_{36} = 1262.1348485797
x37=55.7632696012188x_{37} = 55.7632696012188
x38=−98.174770424681x_{38} = -98.174770424681
x39=−79.3252145031423x_{39} = -79.3252145031423
x40=−54.1924732744239x_{40} = -54.1924732744239
x41=5.49778714378214x_{41} = 5.49778714378214
x42=−57.3340659280137x_{42} = -57.3340659280137
x43=77.7544181763474x_{43} = 77.7544181763474
x44=−25.9181393921158x_{44} = -25.9181393921158
x45=74.6128255227576x_{45} = 74.6128255227576
x46=2.35619449019234x_{46} = 2.35619449019234
x47=−204.988920646734x_{47} = -204.988920646734
x48=−47.9092879672443x_{48} = -47.9092879672443
x49=33.7721210260903x_{49} = 33.7721210260903
x50=−16.4933614313464x_{50} = -16.4933614313464
x51=−44.7676953136546x_{51} = -44.7676953136546
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^3 + cos(x)^3.
sin⁡3(0)+cos⁡3(0)\sin^{3}{\left(0 \right)} + \cos^{3}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3sin⁡2(x)cos⁡(x)−3sin⁡(x)cos⁡2(x)=03 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−3π4x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}
x3=−π2x_{3} = - \frac{\pi}{2}
x4=π4x_{4} = \frac{\pi}{4}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

           ___  
 -3*pi  -\/ 2   
(-----, -------)
   4       2    

 -pi      
(----, -1)
  2       

       ___ 
 pi  \/ 2  
(--, -----)
 4     2   

 pi    
(--, 1)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
x2=−3π4x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(−sin⁡3(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)+2sin⁡(x)cos⁡2(x)−cos⁡3(x))=03 \left(- \sin^{3}{\left(x \right)} + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
x3=2atan⁡(−32+63−52+52)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
x4=−2atan⁡(−52+63−52+32)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}
x5=−2atan⁡(52+32+65+32)x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}
x6=−2atan⁡(−65+32+52+32)x_{6} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3π4,∞)\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(−52+63−52+32)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡3(x)+cos⁡3(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡3(x)+cos⁡3(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^3 + cos(x)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡3(x)+cos⁡3(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡3(x)+cos⁡3(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡3(x)+cos⁡3(x)=−sin⁡3(x)+cos⁡3(x)\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = - \sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}
- No
sin⁡3(x)+cos⁡3(x)=sin⁡3(x)−cos⁡3(x)\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)} - \cos^{3}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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