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Trazado el gráfico de la función/ -1-2*lambertw(sqrt(exp(x))*exp(-1/2)/2)

Gráfico de la función y = -1-2*lambertw(sqrt(exp(x))*exp(-1/2)/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               /   ____      \
               |  /  x   -1/2|
               |\/  e  *e    |
f(x) = -1 - 2*W|-------------|
               \      2      /
$$f{\left(x \right)} = - 2 W\left(\frac{e^{- \frac{1}{2}} \sqrt{e^{x}}}{2}\right) - 1$$ 
f = -2*LambertW((exp(-1/2)*sqrt(exp(x)))/2) - 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 2 W\left(\frac{e^{- \frac{1}{2}} \sqrt{e^{x}}}{2}\right) - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -1 - 2*LambertW((sqrt(exp(x))*exp(-1/2))/2).
$$-1 - 2 W\left(\frac{e^{- \frac{1}{2}} \sqrt{e^{0}}}{2}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -1 - 2 W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)$$
Punto:
(0, -1 - 2*LambertW(exp(-1/2)/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{W\left(\frac{e^{- \frac{1}{2}} \sqrt{e^{x}}}{2}\right)}{W\left(\frac{e^{- \frac{1}{2}} \sqrt{e^{x}}}{2}\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(-1 + \frac{W\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)}{W\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + 1}\right) W\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right)}{2 \left(W\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 W\left(\frac{e^{- \frac{1}{2}} \sqrt{e^{x}}}{2}\right) - 1\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 W\left(\frac{e^{- \frac{1}{2}} \sqrt{e^{x}}}{2}\right) - 1\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 2 W\left(\frac{e^{- \frac{1}{2}} \sqrt{e^{x}}}{2}\right) - 1 = - 2 W\left(\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) - 1$$
- No
$$- 2 W\left(\frac{e^{- \frac{1}{2}} \sqrt{e^{x}}}{2}\right) - 1 = 2 W\left(\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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