Sr Examen

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-1-exp(-x)-sin(2*x)+2*cos(2*x)+10*x
Trazado el gráfico de la función/ -1-exp(-x)-sin(2*x)+2*cos(2*x)+10*x

Gráfico de la función y = -1-exp(-x)-sin(2*x)+2*cos(2*x)+10*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             -x                               
f(x) = -1 - e   - sin(2*x) + 2*cos(2*x) + 10*x
f(x)=10x+(((−1−e−x)−sin⁡(2x))+2cos⁡(2x))f{\left(x \right)} = 10 x + \left(\left(\left(-1 - e^{- x}\right) - \sin{\left(2 x \right)}\right) + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) 
f = 10*x - 1 - exp(-x) - sin(2*x) + 2*cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-4000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
10x+(((−1−e−x)−sin⁡(2x))+2cos⁡(2x))=010 x + \left(\left(\left(-1 - e^{- x}\right) - \sin{\left(2 x \right)}\right) + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -1 - exp(-x) - sin(2*x) + 2*cos(2*x) + 10*x.
0⋅10+(((−1−e−0)−sin⁡(0⋅2))+2cos⁡(0⋅2))0 \cdot 10 + \left(\left(\left(-1 - e^{- 0}\right) - \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}\right) + 2 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(2x)−2cos⁡(2x)+10+e−x=0- 4 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)} + 10 + e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4sin⁡(2x)−8cos⁡(2x)−e−x=04 \sin{\left(2 x \right)} - 8 \cos{\left(2 x \right)} - e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=24.1155192608186x_{1} = 24.1155192608186
x2=3.69655387247561x_{2} = 3.69655387247561
x3=55.5314457967184x_{3} = 55.5314457967184
x4=11.5491481073311x_{4} = 11.5491481073311
x5=46.106667835949x_{5} = 46.106667835949
x6=99.5137429469755x_{6} = 99.5137429469755
x7=83.8057796790266x_{7} = 83.8057796790266
x8=0.584745633868604x_{8} = 0.584745633868604
x9=58.6730384503082x_{9} = 58.6730384503082
x10=2.11764468811873x_{10} = 2.11764468811873
x11=39.8234825287695x_{11} = 39.8234825287695
x12=36.6818898751797x_{12} = 36.6818898751797
x13=66.5270200842827x_{13} = 66.5270200842827
x14=88.5181686594113x_{14} = 88.5181686594113
x15=82.2349833522317x_{15} = 82.2349833522317
x16=60.2438347771031x_{16} = 60.2438347771031
x17=96.3721502933857x_{17} = 96.3721502933857
x18=22.5447229340346x_{18} = 22.5447229340346
x19=9.97835491313228x_{19} = 9.97835491313228
x20=33.5402972215899x_{20} = 33.5402972215899
x21=53.9606494699235x_{21} = 53.9606494699235
x22=−2.05633464842258x_{22} = -2.05633464842258
x23=68.0978164110776x_{23} = 68.0978164110776
x24=14.6907412767532x_{24} = 14.6907412767532
x25=31.969500894795x_{25} = 31.969500894795
x26=17.8323339526341x_{26} = 17.8323339526341
x27=74.3810017182572x_{27} = 74.3810017182572
x28=44.5358715091541x_{28} = 44.5358715091541
x29=52.3898531431286x_{29} = 52.3898531431286
x30=97.9429466201806x_{30} = 97.9429466201806
x31=8.40754351687472x_{31} = 8.40754351687472
x32=77.522594371847x_{32} = 77.522594371847
x33=30.3987045680001x_{33} = 30.3987045680001
x34=80.6641870254368x_{34} = 80.6641870254368
x35=47.6774641627439x_{35} = 47.6774641627439
x36=90.0889649862062x_{36} = 90.0889649862062
x37=16.2615376316892x_{37} = 16.2615376316892
x38=61.814631103898x_{38} = 61.814631103898
x39=69.6686127378725x_{39} = 69.6686127378725
x40=28.8279082412052x_{40} = 28.8279082412052
x41=91.6597613130011x_{41} = 91.6597613130011
x42=25.6863155876158x_{42} = 25.6863155876158
x43=75.9517980450521x_{43} = 75.9517980450521
x44=38.2526862019746x_{44} = 38.2526862019746

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[97.9429466201806,∞)\left[97.9429466201806, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2.05633464842258]\left(-\infty, -2.05633464842258\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(10x+(((−1−e−x)−sin⁡(2x))+2cos⁡(2x)))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(10 x + \left(\left(\left(-1 - e^{- x}\right) - \sin{\left(2 x \right)}\right) + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(10x+(((−1−e−x)−sin⁡(2x))+2cos⁡(2x)))=∞\lim_{x \to \infty}\left(10 x + \left(\left(\left(-1 - e^{- x}\right) - \sin{\left(2 x \right)}\right) + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -1 - exp(-x) - sin(2*x) + 2*cos(2*x) + 10*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(10x+(((−1−e−x)−sin⁡(2x))+2cos⁡(2x))x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 x + \left(\left(\left(-1 - e^{- x}\right) - \sin{\left(2 x \right)}\right) + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(10x+(((−1−e−x)−sin⁡(2x))+2cos⁡(2x))x)=10\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x + \left(\left(\left(-1 - e^{- x}\right) - \sin{\left(2 x \right)}\right) + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)}{x}\right) = 10
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=10xy = 10 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
10x+(((−1−e−x)−sin⁡(2x))+2cos⁡(2x))=−10x−ex+sin⁡(2x)+2cos⁡(2x)−110 x + \left(\left(\left(-1 - e^{- x}\right) - \sin{\left(2 x \right)}\right) + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = - 10 x - e^{x} + \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - 1
- No
10x+(((−1−e−x)−sin⁡(2x))+2cos⁡(2x))=10x+ex−sin⁡(2x)−2cos⁡(2x)+110 x + \left(\left(\left(-1 - e^{- x}\right) - \sin{\left(2 x \right)}\right) + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 10 x + e^{x} - \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -1-exp(-x)-sin(2*x)+2*cos(2*x)+10*x
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