Sr Examen

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Gráfico de la función y = 7/2+(-7*cos(x*sqrt(7)/10)/2-sqrt(7)*sin(x*sqrt(7)/10)/2)*exp(-x/10)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           /      /    ___\            /    ___\\     
           |      |x*\/ 7 |     ___    |x*\/ 7 ||  -x 
           |-7*cos|-------|   \/ 7 *sin|-------||  ---
       7   |      \   10  /            \   10  /|   10
f(x) = - + |--------------- - ------------------|*e   
       2   \       2                  2         /     
$$f{\left(x \right)} = \left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2}$$
f = (-sqrt(7)*sin((sqrt(7)*x)/10)/2 + (-7*cos((sqrt(7)*x)/10))/2)*exp((-x)/10) + 7/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = -87.6904912079899$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -28.1065919712462$$
$$x_{4} = -52.0482189159934$$
$$x_{5} = -40.2566428003268$$
$$x_{6} = -75.8140348416177$$
$$x_{7} = -17.0886043165135$$
$$x_{8} = -63.9476386340954$$
$$x_{9} = -99.5638779828048$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 7/2 + ((-7*cos((x*sqrt(7))/10))/2 - sqrt(7)*sin((x*sqrt(7))/10)/2)*exp((-x)/10).
$$\left(\frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{0 \sqrt{7}}{10} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{0 \sqrt{7}}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 0}{10}} + \frac{7}{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}}}{10} + \left(\frac{7 \sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{20} - \frac{7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{20}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{10 \sqrt{7} \pi}{7}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

                           ___  
                     -pi*\/ 7   
                     ---------- 
         ___             7      
 10*pi*\/ 7   7   7*e           
(-----------, - + -------------)
      7       2         2       


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{10 \sqrt{7} \pi}{7}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \frac{10 \sqrt{7} \pi}{7}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{10 \sqrt{7} \pi}{7}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(- 4 \sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)} + 28 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}\right) e^{- \frac{x}{10}}}{100} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{10 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{7}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{10 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{7}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{10 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{7}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2}\right) = - \infty \left(\sqrt{7} \left\langle -1, 1\right\rangle + \left\langle -7, 7\right\rangle\right) + \frac{7}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \infty \left(\sqrt{7} \left\langle -1, 1\right\rangle + \left\langle -7, 7\right\rangle\right) + \frac{7}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2}\right) = \frac{7}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{7}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 7/2 + ((-7*cos((x*sqrt(7))/10))/2 - sqrt(7)*sin((x*sqrt(7))/10)/2)*exp((-x)/10), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2} = \left(\frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} - \frac{7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{x}{10}} + \frac{7}{2}$$
- No
$$\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2} = - \left(\frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} - \frac{7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{x}{10}} - \frac{7}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar