Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 7/2+(-7*cos(x*sqrt(7)/10)/2-sqrt(7)*sin(x*sqrt(7)/10)/2)*exp(-x/10)

Gráfico de la función y = 7/2+(-7*cos(x*sqrt(7)/10)/2-sqrt(7)*sin(x*sqrt(7)/10)/2)*exp(-x/10)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /      /    ___\            /    ___\\     
           |      |x*\/ 7 |     ___    |x*\/ 7 ||  -x 
           |-7*cos|-------|   \/ 7 *sin|-------||  ---
       7   |      \   10  /            \   10  /|   10
f(x) = - + |--------------- - ------------------|*e   
       2   \       2                  2         /
f(x)=(−7sin⁡(7x10)2+(−1)7cos⁡(7x10)2)e(−1)x10+72f{\left(x \right)} = \left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2} 
f = (-sqrt(7)*sin((sqrt(7)*x)/10)/2 + (-7*cos((sqrt(7)*x)/10))/2)*exp((-x)/10) + 7/2
Gráfico de la función
0550101520253035404505
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−7sin⁡(7x10)2+(−1)7cos⁡(7x10)2)e(−1)x10+72=0\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−87.6904912079899x_{1} = -87.6904912079899
x2=0x_{2} = 0
x3=−28.1065919712462x_{3} = -28.1065919712462
x4=−52.0482189159934x_{4} = -52.0482189159934
x5=−40.2566428003268x_{5} = -40.2566428003268
x6=−75.8140348416177x_{6} = -75.8140348416177
x7=−17.0886043165135x_{7} = -17.0886043165135
x8=−63.9476386340954x_{8} = -63.9476386340954
x9=−99.5638779828048x_{9} = -99.5638779828048
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 7/2 + ((-7*cos((x*sqrt(7))/10))/2 - sqrt(7)*sin((x*sqrt(7))/10)/2)*exp((-x)/10).
((−1)7cos⁡(0710)2−7sin⁡(0710)2)e(−1)010+72\left(\frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{0 \sqrt{7}}{10} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{0 \sqrt{7}}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 0}{10}} + \frac{7}{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(−7sin⁡(7x10)2+(−1)7cos⁡(7x10)2)e(−1)x1010+(77sin⁡(7x10)20−7cos⁡(7x10)20)e(−1)x10=0- \frac{\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}}}{10} + \left(\frac{7 \sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{20} - \frac{7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{20}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=107π7x_{2} = \frac{10 \sqrt{7} \pi}{7}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

                           ___  
                     -pi*\/ 7   
                     ---------- 
         ___             7      
 10*pi*\/ 7   7   7*e           
(-----------, - + -------------)
      7       2         2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=107π7x_{1} = \frac{10 \sqrt{7} \pi}{7}
Decrece en los intervalos
[0,107π7]\left[0, \frac{10 \sqrt{7} \pi}{7}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[107π7,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{10 \sqrt{7} \pi}{7}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−47sin⁡(7x10)+28cos⁡(7x10))e−x10100=0\frac{\left(- 4 \sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)} + 28 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}\right) e^{- \frac{x}{10}}}{100} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=107atan⁡(7)7x_{1} = \frac{10 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{7}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,107atan⁡(7)7]\left(-\infty, \frac{10 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{7}\right]
Convexa en los intervalos
[107atan⁡(7)7,∞)\left[\frac{10 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7} \right)}}{7}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−7sin⁡(7x10)2+(−1)7cos⁡(7x10)2)e(−1)x10+72)=−∞(7⟨−1,1⟩+⟨−7,7⟩)+72\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2}\right) = - \infty \left(\sqrt{7} \left\langle -1, 1\right\rangle + \left\langle -7, 7\right\rangle\right) + \frac{7}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−∞(7⟨−1,1⟩+⟨−7,7⟩)+72y = - \infty \left(\sqrt{7} \left\langle -1, 1\right\rangle + \left\langle -7, 7\right\rangle\right) + \frac{7}{2}
lim⁡x→∞((−7sin⁡(7x10)2+(−1)7cos⁡(7x10)2)e(−1)x10+72)=72\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2}\right) = \frac{7}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=72y = \frac{7}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 7/2 + ((-7*cos((x*sqrt(7))/10))/2 - sqrt(7)*sin((x*sqrt(7))/10)/2)*exp((-x)/10), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−7sin⁡(7x10)2+(−1)7cos⁡(7x10)2)e(−1)x10+72x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−7sin⁡(7x10)2+(−1)7cos⁡(7x10)2)e(−1)x10+72x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−7sin⁡(7x10)2+(−1)7cos⁡(7x10)2)e(−1)x10+72=(7sin⁡(7x10)2−7cos⁡(7x10)2)ex10+72\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2} = \left(\frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} - \frac{7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{x}{10}} + \frac{7}{2}
- No
(−7sin⁡(7x10)2+(−1)7cos⁡(7x10)2)e(−1)x10+72=−(7sin⁡(7x10)2−7cos⁡(7x10)2)ex10−72\left(- \frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} + \frac{\left(-1\right) 7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{10}} + \frac{7}{2} = - \left(\frac{\sqrt{7} \sin{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2} - \frac{7 \cos{\left(\frac{\sqrt{7} x}{10} \right)}}{2}\right) e^{\frac{x}{10}} - \frac{7}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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