Sr Examen

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cos(x)<-√3/3 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
            ___ 
         -\/ 3  
cos(x) < -------
            3   
$$\cos{\left(x \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
cos(x) < (-sqrt(3))/3
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(x \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(x \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
   /                  /   ___ \\      ___ 
   |  1               |-\/ 3  ||   -\/ 3  
cos|- -- + pi*n + acos|-------|| < -------
   \  10              \   3   //      3   
   

pero
   /                  /   ___ \\      ___ 
   |  1               |-\/ 3  ||   -\/ 3  
cos|- -- + pi*n + acos|-------|| > -------
   \  10              \   3   //      3   
   

Entonces
$$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} \wedge x < \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
   /             /  ___\           /  ___\    \
And\x < pi + atan\\/ 2 /, pi - atan\\/ 2 / < x/
$$x < \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)} + \pi \wedge \pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)} < x$$
(x < pi + atan(sqrt(2)))∧(pi - atan(sqrt(2)) < x)
Respuesta rápida 2 [src]
          /  ___\           /  ___\ 
(pi - atan\\/ 2 /, pi + atan\\/ 2 /)
$$x\ in\ \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)} + \pi\right)$$
x in Interval.open(pi - atan(sqrt(2)), atan(sqrt(2)) + pi)