sqrt(x+2)+|x+4|<=6 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{x + 2} + \left|{x + 4}\right| \leq 6$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{x + 2} + \left|{x + 4}\right| = 6$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x + 4 \geq 0$$
o
$$-4 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\sqrt{x + 2} + \left(x + 4\right) - 6 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x + \sqrt{x + 2} - 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$

2.
$$x + 4 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -4$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- x - 4\right) + \sqrt{x + 2} - 6 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x + \sqrt{x + 2} - 10 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{19}{2} - \frac{\sqrt{31} i}{2}$$
pero x2 no satisface a la desigualdad
$$x_{3} = - \frac{19}{2} + \frac{\sqrt{31} i}{2}$$
pero x3 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right)$$
=
$$\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{x + 2} + \left|{x + 4}\right| \leq 6$$
$$\sqrt{\left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right) + 2} + \left|{\left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right) + 4}\right| \leq 6$$

          _____________              
         /        ____      ____     
32      /  22   \/ 17     \/ 17  <= 6
-- +   /   -- - ------  - ------     
5    \/    5      2         2        

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1