tg^2x<9 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\tan^{2}{\left(x \right)} < 9$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\tan^{2}{\left(x \right)} = 9$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\tan^{2}{\left(x \right)} = 9$$
cambiamos
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 9 = 0$$
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 9 = 0$$
Sustituimos
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -9$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-9) = 36

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = 3$$
$$w_{2} = -3$$
hacemos cambio inverso
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-3 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \operatorname{atan}{\left(3 \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \operatorname{atan}{\left(3 \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\tan^{2}{\left(x \right)} < 9$$
$$\tan^{2}{\left(- \operatorname{atan}{\left(3 \right)} - \frac{1}{10} \right)} < 9$$

   2                    
tan (1/10 + atan(3)) < 9
    

pero

   2                    
tan (1/10 + atan(3)) > 9
    

Entonces
$$x < - \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \operatorname{atan}{\left(3 \right)} \wedge x < \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2