Sr Examen

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sinx<√2/2 desigualdades

Ha introducido [src]

           ___
         \/ 2 
sin(x) < -----
           2

\sin{\left(x \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}

sin(x) < sqrt(2)/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\sin{\left(x \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\sin{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\sin{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}

x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi

x = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}

x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}

, donde n es cualquier número entero

x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}

x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}

x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}

x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}

Las raíces dadas

x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}

x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} < x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

\left(2 \pi n + \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}

2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}

lo sustituimos en la expresión

\sin{\left(x \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}

\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}

                            ___
   /  1    pi         \   \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| < -----
   \  10   4          /     2

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x < 2 \pi n + \frac{\pi}{4}

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:

x < 2 \pi n + \frac{\pi}{4}

x > 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida 2 [src]

    pi     3*pi       
[0, --) U (----, 2*pi]
    4       4

x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{4}, 2 \pi\right]

x in Union(Interval.Ropen(0, pi/4), Interval.Lopen(3*pi/4, 2*pi))

Gráfico