Sr Examen

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sin(x/4)<-sqrt3/2

sin(x/4)<-sqrt3/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
            ___ 
   /x\   -\/ 3  
sin|-| < -------
   \4/      2   
$$\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
sin(x/4) < (-sqrt(3))/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{4} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$\frac{x}{4} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{4}$$
$$x_{1} = 8 \pi n - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 8 \pi n + \frac{16 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 8 \pi n - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 8 \pi n + \frac{16 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 8 \pi n - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 8 \pi n + \frac{16 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(8 \pi n - \frac{4 \pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$8 \pi n - \frac{4 \pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{8 \pi n - \frac{4 \pi}{3} - \frac{1}{10}}{4} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
                            ___ 
    /1    pi         \   -\/ 3  
-sin|-- + -- - 2*pi*n| < -------
    \40   3          /      2   
                         

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 8 \pi n - \frac{4 \pi}{3}$$
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 8 \pi n - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x > 8 \pi n + \frac{16 \pi}{3}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
   /16*pi          20*pi\
And|----- < x, x < -----|
   \  3              3  /
$$\frac{16 \pi}{3} < x \wedge x < \frac{20 \pi}{3}$$
(16*pi/3 < x)∧(x < 20*pi/3)
Respuesta rápida 2 [src]
 16*pi  20*pi 
(-----, -----)
   3      3   
$$x\ in\ \left(\frac{16 \pi}{3}, \frac{20 \pi}{3}\right)$$
x in Interval.open(16*pi/3, 20*pi/3)
Gráfico
sin(x/4)<-sqrt3/2 desigualdades