sin(x/4)<-sqrt3/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{4} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$\frac{x}{4} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{4}$$
$$x_{1} = 8 \pi n - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 8 \pi n + \frac{16 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 8 \pi n - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 8 \pi n + \frac{16 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 8 \pi n - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 8 \pi n + \frac{16 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(8 \pi n - \frac{4 \pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$8 \pi n - \frac{4 \pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{8 \pi n - \frac{4 \pi}{3} - \frac{1}{10}}{4} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$

                            ___ 
    /1    pi         \   -\/ 3  
-sin|-- + -- - 2*pi*n| < -------
    \40   3          /      2   
                         

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 8 \pi n - \frac{4 \pi}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 8 \pi n - \frac{4 \pi}{3}$$
$$x > 8 \pi n + \frac{16 \pi}{3}$$