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Resolver desigualdades/ sin(x/4-1)>=sqrt(2)/2

sin(x/4-1)>=sqrt(2)/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
                ___
   /x    \    \/ 2 
sin|- - 1| >= -----
   \4    /      2
sin⁡(x4−1)≥22\sin{\left(\frac{x}{4} - 1 \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} 
sin(x/4 - 1) >= sqrt(2)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x4−1)≥22\sin{\left(\frac{x}{4} - 1 \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x4−1)=22\sin{\left(\frac{x}{4} - 1 \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡(x4−1)=22\sin{\left(\frac{x}{4} - 1 \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x4−1=2πn+asin⁡(22)\frac{x}{4} - 1 = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x4−1=2πn−asin⁡(22)+π\frac{x}{4} - 1 = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi
O
x4−1=2πn+π4\frac{x}{4} - 1 = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}
x4−1=2πn+3π4\frac{x}{4} - 1 = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
−1-1
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
x4=2πn+π4+1\frac{x}{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4} + 1
x4=2πn+1+3π4\frac{x}{4} = 2 \pi n + 1 + \frac{3 \pi}{4}
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
14\frac{1}{4}
x1=8πn+π+4x_{1} = 8 \pi n + \pi + 4
x2=8πn+4+3πx_{2} = 8 \pi n + 4 + 3 \pi
x1=8πn+π+4x_{1} = 8 \pi n + \pi + 4
x2=8πn+4+3πx_{2} = 8 \pi n + 4 + 3 \pi
Las raíces dadas
x1=8πn+π+4x_{1} = 8 \pi n + \pi + 4
x2=8πn+4+3πx_{2} = 8 \pi n + 4 + 3 \pi
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(8πn+π+4)+−110\left(8 \pi n + \pi + 4\right) + - \frac{1}{10}
=
8πn+π+39108 \pi n + \pi + \frac{39}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x4−1)≥22\sin{\left(\frac{x}{4} - 1 \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}
sin⁡(8πn+π+39104−1)≥22\sin{\left(\frac{8 \pi n + \pi + \frac{39}{10}}{4} - 1 \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}
                             ___
   /  1    pi         \    \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| >= -----
   \  40   4          /      2

pero
                            ___
   /  1    pi         \   \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| < -----
   \  40   4          /     2

Entonces
x≤8πn+π+4x \leq 8 \pi n + \pi + 4
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥8πn+π+4∧x≤8πn+4+3πx \geq 8 \pi n + \pi + 4 \wedge x \leq 8 \pi n + 4 + 3 \pi
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-50-40-30-20-10102030405060702-2
Respuesta rápida [src] 
   /                  /       3            ___                    ___    4                 ___ /       2     \        \         /         3            ___                    ___    4                 ___ /       2     \        \     \
   |                  |- 8*tan (1/2) + 2*\/ 2  + 8*tan(1/2) - 2*\/ 2 *tan (1/2)          \/ 2 *\1 + tan (1/2)/        |         |  - 8*tan (1/2) + 2*\/ 2  + 8*tan(1/2) - 2*\/ 2 *tan (1/2)          \/ 2 *\1 + tan (1/2)/        |     |
And|x <= 8*pi + 8*atan|-------------------------------------------------------- + ------------------------------------|, -8*atan|- -------------------------------------------------------- + ------------------------------------| <= x|
   |                  |                       2             4                       ___                  ___    2     |         |                         2             4                       ___                  ___    2     |     |
   \                  \             2 - 12*tan (1/2) + 2*tan (1/2)                \/ 2  - 4*tan(1/2) + \/ 2 *tan (1/2)/         \               2 - 12*tan (1/2) + 2*tan (1/2)                \/ 2  - 4*tan(1/2) + \/ 2 *tan (1/2)/     /
x≤8atan⁡(2(tan⁡2(12)+1)−4tan⁡(12)+2tan⁡2(12)+2+−8tan⁡3(12)−22tan⁡4(12)+22+8tan⁡(12)−12tan⁡2(12)+2tan⁡4(12)+2)+8π∧−8atan⁡(2(tan⁡2(12)+1)−4tan⁡(12)+2tan⁡2(12)+2−−8tan⁡3(12)−22tan⁡4(12)+22+8tan⁡(12)−12tan⁡2(12)+2tan⁡4(12)+2)≤xx \leq 8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1\right)}{- 4 \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} + \sqrt{2} \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \sqrt{2}} + \frac{- 8 \tan^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)} - 2 \sqrt{2} \tan^{4}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2 \sqrt{2} + 8 \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{- 12 \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2 \tan^{4}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2} \right)} + 8 \pi \wedge - 8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1\right)}{- 4 \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} + \sqrt{2} \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \sqrt{2}} - \frac{- 8 \tan^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)} - 2 \sqrt{2} \tan^{4}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2 \sqrt{2} + 8 \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{- 12 \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2 \tan^{4}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2} \right)} \leq x 
(-8*atan(-(-8*tan(1/2)^3 + 2*sqrt(2) + 8*tan(1/2) - 2*sqrt(2)*tan(1/2)^4)/(2 - 12*tan(1/2)^2 + 2*tan(1/2)^4) + sqrt(2)*(1 + tan(1/2)^2)/(sqrt(2) - 4*tan(1/2) + sqrt(2)*tan(1/2)^2)) <= x)∧(x <= 8*pi + 8*atan((-8*tan(1/2)^3 + 2*sqrt(2) + 8*tan(1/2) - 2*sqrt(2)*tan(1/2)^4)/(2 - 12*tan(1/2)^2 + 2*tan(1/2)^4) + sqrt(2)*(1 + tan(1/2)^2)/(sqrt(2) - 4*tan(1/2) + sqrt(2)*tan(1/2)^2)))
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