Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
x^2>1
-
-x^2+3x-2<0
-
(x-2)/(x-4)>0
-
x+1>0
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Expresiones idénticas
- sin(4x)sin(x)cos(2x)cos(x)> cero
- seno de (4x) seno de (x) coseno de (2x) coseno de (x) más 0
- seno de (4x) seno de (x) coseno de (2x) coseno de (x) más cero
- sin4xsinxcos2xcosx>0
-
Expresiones semejantes
- sin(4x)sinxcos(2x)cosx>0
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)^2<=1/2
- sin(x)>√2
- sin(x^2)<=1/2
- sin(-x/2)<=-1/2
- sin(x/2)>0
- Seno sin
- sin(x)^2<=1/2
- sin(x)>√2
- sin(x^2)<=1/2
- sin(-x/2)<=-1/2
- sin(x/2)>0
- Coseno cos
- cos(nx)>=x^2+1
- cos(x)*cos(pi*1/6)-sin(x)*sin(pi*1/6)>(sqrt(3))*1/2
- cos(2p-x)>=-sqrt2/2
- cos(x)/2<0
- cos(2x)<=-sqrt(3/2)
- Coseno cos
- cos(nx)>=x^2+1
- cos(x)*cos(pi*1/6)-sin(x)*sin(pi*1/6)>(sqrt(3))*1/2
- cos(2p-x)>=-sqrt2/2
- cos(x)/2<0
- cos(2x)<=-sqrt(3/2)
sin(4x)sin(x)cos(2x)cos(x)>0 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
sin(4*x)*sin(x)*cos(2*x)*cos(x) > 0
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} > 0$$
((sin(x)*sin(4*x))*cos(2*x))*cos(x) > 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} > 0$$
$$\sin{\left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)} \sin{\left(4 \left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}\right) \right)} \cos{\left(2 \left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}\right) \right)} \cos{\left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)} > 0$$
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\pi}{2}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\pi}{2}$$
$$x > - \frac{\pi}{4} \wedge x < 0$$
$$x > \frac{\pi}{4} \wedge x < \frac{\pi}{2}$$
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} > 0$$
$$\sin{\left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)} \sin{\left(4 \left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}\right) \right)} \cos{\left(2 \left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}\right) \right)} \cos{\left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)} > 0$$
cos(1/5)*cos(1/10)*sin(1/10)*sin(2/5) > 0
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\pi}{2}$$
_____ _____ _____
\ / \ / \
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
x2 x3 x1 x4 x5Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\pi}{2}$$
$$x > - \frac{\pi}{4} \wedge x < 0$$
$$x > \frac{\pi}{4} \wedge x < \frac{\pi}{2}$$
Respuesta rápida 2
[src]
pi pi pi pi 3*pi 3*pi 5*pi 5*pi 3*pi 3*pi 7*pi 7*pi
(0, --) U (--, --) U (--, ----) U (----, pi) U (pi, ----) U (----, ----) U (----, ----) U (----, 2*pi)
4 4 2 2 4 4 4 4 2 2 4 4
$$x\ in\ \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right) \cup \left(\pi, \frac{5 \pi}{4}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{4}\right) \cup \left(\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right)$$
x in Union(Interval.open(0, pi/4), Interval.open(pi/4, pi/2), Interval.open(pi/2, 3*pi/4), Interval.open(3*pi/4, pi), Interval.open(pi, 5*pi/4), Interval.open(5*pi/4, 3*pi/2), Interval.open(3*pi/2, 7*pi/4), Interval.open(7*pi/4, 2*pi))
Respuesta rápida
[src]
/ / pi\ /pi pi\ /pi 3*pi\ / 5*pi\ /5*pi 3*pi\ /3*pi 7*pi\ /7*pi \ /3*pi \\ Or|And|0 < x, x < --|, And|-- < x, x < --|, And|-- < x, x < ----|, And|pi < x, x < ----|, And|---- < x, x < ----|, And|---- < x, x < ----|, And|---- < x, x < 2*pi|, And|---- < x, x < pi|| \ \ 4 / \4 2 / \2 4 / \ 4 / \ 4 2 / \ 2 4 / \ 4 / \ 4 //
$$\left(0 < x \wedge x < \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{\pi}{4} < x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(\frac{\pi}{2} < x \wedge x < \frac{3 \pi}{4}\right) \vee \left(\pi < x \wedge x < \frac{5 \pi}{4}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{4} < x \wedge x < \frac{3 \pi}{2}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{2} < x \wedge x < \frac{7 \pi}{4}\right) \vee \left(\frac{7 \pi}{4} < x \wedge x < 2 \pi\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{4} < x \wedge x < \pi\right)$$
((0 < x)∧(x < pi/4))∨((pi < x)∧(x < 5*pi/4))∨((x < pi)∧(3*pi/4 < x))∨((pi/4 < x)∧(x < pi/2))∨((pi/2 < x)∧(x < 3*pi/4))∨((5*pi/4 < x)∧(x < 3*pi/2))∨((3*pi/2 < x)∧(x < 7*pi/4))∨((7*pi/4 < x)∧(x < 2*pi))
Gráfico