sin((4*x)/3)>-sqrt(3)*1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)} > \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{4 x}{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$\frac{4 x}{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{4 x}{3} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$\frac{4 x}{3} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{4}{3}$$
$$x_{1} = \frac{3 \pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi n}{2} + \pi$$
$$x_{1} = \frac{3 \pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi n}{2} + \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{3 \pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi n}{2} + \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{3 \pi n}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{3 \pi n}{2} - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)} > \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{4 \left(\frac{3 \pi n}{2} - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right)}{3} \right)} > \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$

                            ___ 
    /2    pi         \   -\/ 3  
-sin|-- + -- - 2*pi*n| > -------
    \15   3          /      2   
                         

Entonces
$$x < \frac{3 \pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{3 \pi n}{2} - \frac{\pi}{4} \wedge x < \frac{3 \pi n}{2} + \pi$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2