-sin(x)+sqrt(3*cos(x))<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} = 1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \left(- \sqrt[3]{2} + \left(1 + \sqrt{3}\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{2 \sqrt[3]{1 + \sqrt{3}}} \right)}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \left(- \sqrt[3]{2} + \left(1 + \sqrt{3}\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{2 \sqrt[3]{1 + \sqrt{3}}} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \left(- \sqrt[3]{2} + \left(1 + \sqrt{3}\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{2 \sqrt[3]{1 + \sqrt{3}}} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} < 1$$
$$- \sin{\left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)} + \sqrt{3 \cos{\left(- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)}} < 1$$

    ___   ___________                
I*\/ 3 *\/ sin(1/10)  + cos(1/10) < 1
    

Entonces
$$x < - \frac{\pi}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{\pi}{2} \wedge x < 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \left(- \sqrt[3]{2} + \left(1 + \sqrt{3}\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{2 \sqrt[3]{1 + \sqrt{3}}} \right)}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2