abs((3x-1))/(2x+4)<1/4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left|{3 x - 1}\right|}{2 x + 4} < \frac{1}{4}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left|{3 x - 1}\right|}{2 x + 4} = \frac{1}{4}$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$3 x - 1 \geq 0$$
o
$$\frac{1}{3} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$- \frac{1}{4} + \frac{3 x - 1}{2 x + 4} = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- \frac{1}{4} + \frac{3 x - 1}{2 x + 4} = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{4}{5}$$

2.
$$3 x - 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < \frac{1}{3}$$
obtenemos la ecuación
$$\frac{1 - 3 x}{2 x + 4} - \frac{1}{4} = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\frac{1 - 3 x}{2 x + 4} - \frac{1}{4} = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 0$$


$$x_{1} = \frac{4}{5}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = \frac{4}{5}$$
$$x_{2} = 0$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = \frac{4}{5}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left|{3 x - 1}\right|}{2 x + 4} < \frac{1}{4}$$
$$\frac{\left|{-1 + \frac{\left(-1\right) 3}{10}}\right|}{\frac{\left(-1\right) 2}{10} + 4} < \frac{1}{4}$$

13      
-- < 1/4
38      

pero

13      
-- > 1/4
38      

Entonces
$$x < 0$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 0 \wedge x < \frac{4}{5}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1