ctg(3*x)<=1/sqrt(3) desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cot{\left(3 x \right)} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cot{\left(3 x \right)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cot{\left(3 x \right)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
cambiamos
$$\cot{\left(3 x \right)} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$$
$$\cot{\left(3 x \right)} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cot{\left(3 x \right)}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-1 + w - sqrt3/3 = 0

Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$w - \frac{\sqrt{3}}{3} = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (w - sqrt(3)/3)/w

w = 1 / ((w - sqrt(3)/3)/w)

Obtenemos la respuesta: w = 1 + sqrt(3)/3
hacemos cambio inverso
$$\cot{\left(3 x \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi}{9}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{9}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{9}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{9}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{9}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cot{\left(3 x \right)} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$\cot{\left(3 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{9}\right) \right)} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$$

                  ___
   /3    pi\    \/ 3 
tan|-- + --| <= -----
   \10   6 /      3  
                

pero

                  ___
   /3    pi\    \/ 3 
tan|-- + --| >= -----
   \10   6 /      3  
                

Entonces
$$x \leq \frac{\pi}{9}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{\pi}{9}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1