log(7-1)(1-x)/x-7<=-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-7 + \frac{\left(1 - x\right) \log{\left(6 \right)}}{x} \leq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-7 + \frac{\left(1 - x\right) \log{\left(6 \right)}}{x} = -1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$-7 + \frac{\left(1 - x\right) \log{\left(6 \right)}}{x} = -1$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- \frac{x \log{\left(6 \right)} + 6 x - \log{\left(6 \right)}}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x \left(-6 - \log{\left(6 \right)}\right) + \log{\left(6 \right)} = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x \left(-6 - \log{\left(6 \right)}\right) + \log{\left(6 \right)} = 0$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

x-6+log+6) + log6 = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x \left(-6 - \log{\left(6 \right)}\right) + \log{\left(6 \right)} + 6 = 6$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (6 + x*(-6 - log(6)) + log(6))/x

x = 6 / ((6 + x*(-6 - log(6)) + log(6))/x)

Obtenemos la respuesta: x1 = log(6)/(6 + log(6))
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(6 \right)} + 6}$$
$$x_{1} = \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(6 \right)} + 6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(6 \right)} + 6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(6 \right)} + 6}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(6 \right)} + 6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-7 + \frac{\left(1 - x\right) \log{\left(6 \right)}}{x} \leq -1$$
$$-7 + \frac{\left(1 - \left(- \frac{1}{10} + \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(6 \right)} + 6}\right)\right) \log{\left(6 \right)}}{- \frac{1}{10} + \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(6 \right)} + 6}} \leq -1$$

     /11     log(6)  \             
     |-- - ----------|*log(6)      
     \10   6 + log(6)/             
-7 + ------------------------ <= -1
          1      log(6)            
        - -- + ----------          
          10   6 + log(6)          

pero

     /11     log(6)  \             
     |-- - ----------|*log(6)      
     \10   6 + log(6)/             
-7 + ------------------------ >= -1
          1      log(6)            
        - -- + ----------          
          10   6 + log(6)          

Entonces
$$x \leq \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(6 \right)} + 6}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(6 \right)} + 6}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1