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Resolver desigualdades/ sin(x/4-3)<=(-sqrt(2))/2

sin(x/4-3)<=(-sqrt(2))/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
                 ___ 
   /x    \    -\/ 2  
sin|- - 3| <= -------
   \4    /       2
sin⁡(x4−3)≤(−1)22\sin{\left(\frac{x}{4} - 3 \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2} 
sin(x/4 - 3) <= (-sqrt(2))/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x4−3)≤(−1)22\sin{\left(\frac{x}{4} - 3 \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x4−3)=(−1)22\sin{\left(\frac{x}{4} - 3 \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡(x4−3)=(−1)22\sin{\left(\frac{x}{4} - 3 \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x4−3=2πn+asin⁡(−22)\frac{x}{4} - 3 = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x4−3=2πn−asin⁡(−22)+π\frac{x}{4} - 3 = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi
O
x4−3=2πn−π4\frac{x}{4} - 3 = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}
x4−3=2πn+5π4\frac{x}{4} - 3 = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
−3-3
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
x4=2πn−π4+3\frac{x}{4} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4} + 3
x4=2πn+3+5π4\frac{x}{4} = 2 \pi n + 3 + \frac{5 \pi}{4}
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
14\frac{1}{4}
x1=8πn−π+12x_{1} = 8 \pi n - \pi + 12
x2=8πn+12+5πx_{2} = 8 \pi n + 12 + 5 \pi
x1=8πn−π+12x_{1} = 8 \pi n - \pi + 12
x2=8πn+12+5πx_{2} = 8 \pi n + 12 + 5 \pi
Las raíces dadas
x1=8πn−π+12x_{1} = 8 \pi n - \pi + 12
x2=8πn+12+5πx_{2} = 8 \pi n + 12 + 5 \pi
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(8πn−π+12)+−110\left(8 \pi n - \pi + 12\right) + - \frac{1}{10}
=
8πn−π+119108 \pi n - \pi + \frac{119}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x4−3)≤(−1)22\sin{\left(\frac{x}{4} - 3 \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
sin⁡(8πn−π+119104−3)≤(−1)22\sin{\left(\frac{8 \pi n - \pi + \frac{119}{10}}{4} - 3 \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
                             ___ 
    /1    pi         \    -\/ 2  
-sin|-- + -- - 2*pi*n| <= -------
    \40   4          /       2

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≤8πn−π+12x \leq 8 \pi n - \pi + 12
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≤8πn−π+12x \leq 8 \pi n - \pi + 12
x≥8πn+12+5πx \geq 8 \pi n + 12 + 5 \pi
Solución de la desigualdad en el gráfico
0123456789-5-4-3-2-1102-2
Respuesta rápida [src] 
   /           /       3            ___                    ___    4                 ___ /       2     \        \        /       3            ___                    ___    4                 ___ /       2     \        \     \
   |           |- 8*tan (3/2) - 2*\/ 2  + 8*tan(3/2) + 2*\/ 2 *tan (3/2)          \/ 2 *\1 + tan (3/2)/        |        |- 8*tan (3/2) - 2*\/ 2  + 8*tan(3/2) + 2*\/ 2 *tan (3/2)          \/ 2 *\1 + tan (3/2)/        |     |
And|x <= 8*atan|-------------------------------------------------------- + ------------------------------------|, 8*atan|-------------------------------------------------------- - ------------------------------------| <= x|
   |           |                       2             4                       ___                  ___    2     |        |                       2             4                       ___                  ___    2     |     |
   \           \             2 - 12*tan (3/2) + 2*tan (3/2)                \/ 2  + 4*tan(3/2) + \/ 2 *tan (3/2)/        \             2 - 12*tan (3/2) + 2*tan (3/2)                \/ 2  + 4*tan(3/2) + \/ 2 *tan (3/2)/     /
x≤8atan⁡(2(1+tan⁡2(32))2+4tan⁡(32)+2tan⁡2(32)+−8tan⁡3(32)−22+8tan⁡(32)+22tan⁡4(32)−12tan⁡2(32)+2+2tan⁡4(32))∧8atan⁡(−2(1+tan⁡2(32))2+4tan⁡(32)+2tan⁡2(32)+−8tan⁡3(32)−22+8tan⁡(32)+22tan⁡4(32)−12tan⁡2(32)+2+2tan⁡4(32))≤xx \leq 8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \tan^{2}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}{\sqrt{2} + 4 \tan{\left(\frac{3}{2} \right)} + \sqrt{2} \tan^{2}{\left(\frac{3}{2} \right)}} + \frac{- 8 \tan^{3}{\left(\frac{3}{2} \right)} - 2 \sqrt{2} + 8 \tan{\left(\frac{3}{2} \right)} + 2 \sqrt{2} \tan^{4}{\left(\frac{3}{2} \right)}}{- 12 \tan^{2}{\left(\frac{3}{2} \right)} + 2 + 2 \tan^{4}{\left(\frac{3}{2} \right)}} \right)} \wedge 8 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \left(1 + \tan^{2}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}{\sqrt{2} + 4 \tan{\left(\frac{3}{2} \right)} + \sqrt{2} \tan^{2}{\left(\frac{3}{2} \right)}} + \frac{- 8 \tan^{3}{\left(\frac{3}{2} \right)} - 2 \sqrt{2} + 8 \tan{\left(\frac{3}{2} \right)} + 2 \sqrt{2} \tan^{4}{\left(\frac{3}{2} \right)}}{- 12 \tan^{2}{\left(\frac{3}{2} \right)} + 2 + 2 \tan^{4}{\left(\frac{3}{2} \right)}} \right)} \leq x 
(x <= 8*atan((-8*tan(3/2)^3 - 2*sqrt(2) + 8*tan(3/2) + 2*sqrt(2)*tan(3/2)^4)/(2 - 12*tan(3/2)^2 + 2*tan(3/2)^4) + sqrt(2)*(1 + tan(3/2)^2)/(sqrt(2) + 4*tan(3/2) + sqrt(2)*tan(3/2)^2)))∧(8*atan((-8*tan(3/2)^3 - 2*sqrt(2) + 8*tan(3/2) + 2*sqrt(2)*tan(3/2)^4)/(2 - 12*tan(3/2)^2 + 2*tan(3/2)^4) - sqrt(2)*(1 + tan(3/2)^2)/(sqrt(2) + 4*tan(3/2) + sqrt(2)*tan(3/2)^2)) <= x)
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