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cot(3x)<1/(sqrt(3)) desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
             1  
cot(3*x) < -----
             ___
           \/ 3 
$$\cot{\left(3 x \right)} < \frac{1}{\sqrt{3}}$$
cot(3*x) < 1/(sqrt(3))
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cot{\left(3 x \right)} < \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cot{\left(3 x \right)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cot{\left(3 x \right)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
cambiamos
$$\cot{\left(3 x \right)} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$$
$$\cot{\left(3 x \right)} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cot{\left(3 x \right)}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
-1 + w - sqrt3/3 = 0

Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$w - \frac{\sqrt{3}}{3} = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (w - sqrt(3)/3)/w
w = 1 / ((w - sqrt(3)/3)/w)

Obtenemos la respuesta: w = 1 + sqrt(3)/3
hacemos cambio inverso
$$\cot{\left(3 x \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi}{9}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{9}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{9}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{9}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{9}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cot{\left(3 x \right)} < \frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$\cot{\left(3 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{9}\right) \right)} < \frac{1}{\sqrt{3}}$$
                 ___
   /3    pi\   \/ 3 
tan|-- + --| < -----
   \10   6 /     3  
               

pero
                 ___
   /3    pi\   \/ 3 
tan|-- + --| > -----
   \10   6 /     3  
               

Entonces
$$x < \frac{\pi}{9}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > \frac{\pi}{9}$$
         _____  
        /
-------ο-------
       x1