sin(x/2)<-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = -1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = -1$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-1 \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(-1 \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n - \pi$$
$$x_{2} = 4 \pi n + 3 \pi$$
$$x_{1} = 4 \pi n - \pi$$
$$x_{2} = 4 \pi n + 3 \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4 \pi n - \pi$$
$$x_{2} = 4 \pi n + 3 \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(4 \pi n - \pi\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \pi - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < -1$$
$$\sin{\left(\frac{4 \pi n - \pi - \frac{1}{10}}{2} \right)} < -1$$

-cos(-1/20 + 2*pi*n) < -1

pero

-cos(-1/20 + 2*pi*n) > -1

Entonces
$$x < 4 \pi n - \pi$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 4 \pi n - \pi \wedge x < 4 \pi n + 3 \pi$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2