sin(x^2)>=1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x^{2} \right)} \geq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x^{2} \right)} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x^{2} \right)} = \frac{1}{2}$$
cambiamos
$$\sin{\left(x^{2} \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
$$\sin{\left(x^{2} \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x^{2} \right)}$$
Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$w = \frac{1}{2}$$
Obtenemos la respuesta: w = 1/2
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x^{2} \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x^{2} \right)} \geq \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(\left(- \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6} - \frac{1}{10}\right)^{2} \right)} \geq \frac{1}{2}$$

   /                      2\       
   |/         ____   ____\ |       
   ||  1    \/ 30 *\/ pi | | >= 1/2
sin||- -- - -------------| |       
   \\  10         6      / /       

pero

   /                      2\      
   |/         ____   ____\ |      
   ||  1    \/ 30 *\/ pi | | < 1/2
sin||- -- - -------------| |      
   \\  10         6      / /      

Entonces
$$x \leq - \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6} \wedge x \leq - \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{6}$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x3      x4      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6} \wedge x \leq - \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{6}$$
$$x \geq \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{6} \wedge x \leq \frac{\sqrt{30} \sqrt{\pi}}{6}$$