Sr Examen

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cosx>=1/2 desigualdades

Ha introducido [src]

cos(x) >= 1/2

\cos{\left(x \right)} \geq \frac{1}{2}

cos(x) >= 1/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\cos{\left(x \right)} \geq \frac{1}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}

x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}

x = \pi n + \frac{\pi}{3}

x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}

, donde n es cualquier número entero

x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}

x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}

x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}

x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}

Las raíces dadas

x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}

x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} \leq x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

\left(\pi n + \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}

\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}

lo sustituimos en la expresión

\cos{\left(x \right)} \geq \frac{1}{2}

\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right)} \geq \frac{1}{2}

   /  1    pi       \       
cos|- -- + -- + pi*n| >= 1/2
   \  10   3        /

pero

   /  1    pi       \      
cos|- -- + -- + pi*n| < 1/2
   \  10   3        /

Entonces

x \leq \pi n + \frac{\pi}{3}

no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x \geq \pi n + \frac{\pi}{3} \wedge x \leq \pi n - \frac{2 \pi}{3}

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida 2 [src]

    pi     5*pi       
[0, --] U [----, 2*pi]
    3       3

x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{3}, 2 \pi\right]

x in Union(Interval(0, pi/3), Interval(5*pi/3, 2*pi))

Gráfico