Sr Examen

Lang:

cosx<-√2/2 desigualdades

Ha introducido [src]

            ___ 
         -\/ 2  
cos(x) < -------
            2

\cos{\left(x \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}

cos(x) < (-sqrt(2))/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\cos{\left(x \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\cos{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\cos{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}

x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}

x = \pi n + \frac{3 \pi}{4}

x = \pi n - \frac{\pi}{4}

, donde n es cualquier número entero

x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}

x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}

x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}

x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}

Las raíces dadas

x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}

x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} < x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

\left(\pi n + \frac{3 \pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}

\pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4}

lo sustituimos en la expresión

\cos{\left(x \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}

\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}

                            ___ 
    /  1    pi       \   -\/ 2  
-sin|- -- + -- + pi*n| < -------
    \  10   4        /      2

pero

                            ___ 
    /  1    pi       \   -\/ 2  
-sin|- -- + -- + pi*n| > -------
    \  10   4        /      2

Entonces

x < \pi n + \frac{3 \pi}{4}

no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x > \pi n + \frac{3 \pi}{4} \wedge x < \pi n - \frac{\pi}{4}

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida [src]

   /3*pi          5*pi\
And|---- < x, x < ----|
   \ 4             4  /

\frac{3 \pi}{4} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{4}

(3*pi/4 < x)∧(x < 5*pi/4)

Respuesta rápida 2 [src]

 3*pi  5*pi 
(----, ----)
  4     4

x\ in\ \left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)

x in Interval.open(3*pi/4, 5*pi/4)

Gráfico