sin(x/2)

+ desigualdades

¡Resolver la desigualdad!

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]

           ___
   /x\   \/ 2 
sin|-| < -----
   \2/     2  

$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

sin(x/2) < sqrt(2)/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(4 \pi n + \frac{\pi}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}}{2} \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

                            ___
   /  1    pi         \   \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| < -----
   \  20   4          /     2  
                          

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 4 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x > 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida 2 [src]

    pi     3*pi       
[0, --) U (----, 4*pi]
    2       2         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{2}, 4 \pi\right]$$

x in Union(Interval.Ropen(0, pi/2), Interval.Lopen(3*pi/2, 4*pi))

Respuesta rápida [src]

  /   /            pi\     /           3*pi    \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|x <= 4*pi, ---- < x||
  \   \            2 /     \            2      //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(x \leq 4 \pi \wedge \frac{3 \pi}{2} < x\right)$$

((0 <= x)∧(x < pi/2))∨((x <= 4*pi)∧(3*pi/2 < x))

Gráfico