log(x-3)(1/2)>=1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{2} \geq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{2} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{2} = 1$$
$$\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{2} = 1$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/2
$$\log{\left(x - 3 \right)} = 2$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces

         / 1\
         \2 /
x - 3 = e    

simplificamos
$$x - 3 = e^{2}$$
$$x = 3 + e^{2}$$
$$x_{1} = 3 + e^{2}$$
$$x_{1} = 3 + e^{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3 + e^{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(3 + e^{2}\right)$$
=
$$\frac{29}{10} + e^{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{2} \geq 1$$
$$\frac{\log{\left(-3 + \left(\frac{29}{10} + e^{2}\right) \right)}}{2} \geq 1$$

   /  1     2\     
log|- -- + e |     
   \  10     / >= 1
--------------     
      2            

pero

   /  1     2\    
log|- -- + e |    
   \  10     / < 1
--------------    
      2           

Entonces
$$x \leq 3 + e^{2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 3 + e^{2}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1