sin^2x-sinx-1>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
cambiamos
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$w_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 > 0$$
$$\left(\sin^{2}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} - \sin{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)}\right) - 1 > 0$$

         /           /      ___\\      /           /      ___\\    
        2|  1        |1   \/ 5 ||      |  1        |1   \/ 5 ||    
-1 + sin |- -- + asin|- - -----|| - sin|- -- + asin|- - -----|| > 0
         \  10       \2     2  //      \  10       \2     2  //    
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x > \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$