Sr Examen
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- Solución de desigualdades trigonométricas en línea
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- Resolución de desigualdades con un módulo en línea
-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
x^2-10x<0
-
(x-2)^2/(x-1)<0
-
-x^2+3x-2<0
-
-x^2+4x-4<0
-
Expresiones idénticas
- sin^2x-sinx- uno > cero
- seno de al cuadrado x menos seno de x menos 1 más 0
- seno de al cuadrado x menos seno de x menos uno más cero
- sin2x-sinx-1>0
- sin²x-sinx-1>0
- sin en el grado 2x-sinx-1>0
-
Expresiones semejantes
- sin^2x-sinx+1>0
- sin^2x+sinx-1>0
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)<=1/sqrt(2)
- sin2x>=1/2
- sin(x)<-2
- sin((π/2)+x)≤0
- sinП/4*cosx+cosП/8*sinx<=1
- sinx
- sinx>=3/2
- sinx>=-2\2
- sinx<=(-√3/2)
- sinx>1/8
- sinx>-2/2
sin^2x-sinx-1>0 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
2 sin (x) - sin(x) - 1 > 0
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 > 0$$
sin(x)^2 - sin(x) - 1 > 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
cambiamos
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$w_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$w_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 > 0$$
$$\left(\sin^{2}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} - \sin{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)}\right) - 1 > 0$$
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x > \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
cambiamos
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$w_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$w_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 > 0$$
$$\left(\sin^{2}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} - \sin{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)}\right) - 1 > 0$$
/ / ___\\ / / ___\\
2| 1 |1 \/ 5 || | 1 |1 \/ 5 ||
-1 + sin |- -- + asin|- - -----|| - sin|- -- + asin|- - -----|| > 0
\ 10 \2 2 // \ 10 \2 2 //
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x > \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ / ___ / ___\\ / ___ / ___\\ \ | |\/ 2 *\1 - \/ 5 /| |\/ 2 *\1 - \/ 5 /| | And|x < 2*pi + atan|-----------------|, pi - atan|-----------------| < x| | | ____________| | ____________| | | | / ___ | | / ___ | | \ \2*\/ -1 + \/ 5 / \2*\/ -1 + \/ 5 / /
$$x < \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)} + 2 \pi \wedge \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)} < x$$
(x < 2*pi + atan(sqrt(2)*(1 - sqrt(5))/(2*sqrt(-1 + sqrt(5)))))∧(pi - atan(sqrt(2)*(1 - sqrt(5))/(2*sqrt(-1 + sqrt(5)))) < x)
Respuesta rápida 2
[src]
/ ___ / ___\\ / ___ / ___\\
|\/ 2 *\1 - \/ 5 /| |\/ 2 *\1 - \/ 5 /|
(pi - atan|-----------------|, 2*pi + atan|-----------------|)
| ____________| | ____________|
| / ___ | | / ___ |
\2*\/ -1 + \/ 5 / \2*\/ -1 + \/ 5 /
$$x\ in\ \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{5}\right)}{2 \sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)} + 2 \pi\right)$$
x in Interval.open(pi - atan(sqrt(2)*(1 - sqrt(5))/(2*sqrt(-1 + sqrt(5)))), atan(sqrt(2)*(1 - sqrt(5))/(2*sqrt(-1 + sqrt(5)))) + 2*pi)
Gráfico