sin(4*x)>=-sqrt(3)/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(4 x \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(4 x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(4 x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$4 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$4 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$4 x = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$4 x = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$4$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(4 x \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(4 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}\right) \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$

                            ___ 
    /2   pi         \    -\/ 3  
-sin|- + -- - 2*pi*n| >= -------
    \5   3          /       2   
                         

pero

                           ___ 
    /2   pi         \   -\/ 3  
-sin|- + -- - 2*pi*n| < -------
    \5   3          /      2   
                        

Entonces
$$x \leq \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12} \wedge x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2