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Resolver desigualdades/ sin(4*x)>=-sqrt(3)/2

sin(4*x)>=-sqrt(3)/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
               ___ 
            -\/ 3  
sin(4*x) >= -------
               2
sin⁡(4x)≥(−1)32\sin{\left(4 x \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2} 
sin(4*x) >= (-sqrt(3))/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(4x)≥(−1)32\sin{\left(4 x \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(4x)=(−1)32\sin{\left(4 x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡(4x)=(−1)32\sin{\left(4 x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
4x=2πn+asin⁡(−32)4 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}
4x=2πn−asin⁡(−32)+π4 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi
O
4x=2πn−π34 x = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}
4x=2πn+4π34 x = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
44
x1=πn2−π12x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}
x2=πn2+π3x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}
x1=πn2−π12x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}
x2=πn2+π3x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}
Las raíces dadas
x1=πn2−π12x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}
x2=πn2+π3x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(πn2−π12)+−110\left(\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}\right) + - \frac{1}{10}
=
πn2−π12−110\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(4x)≥(−1)32\sin{\left(4 x \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}
sin⁡(4(πn2−π12−110))≥(−1)32\sin{\left(4 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}\right) \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}
                            ___ 
    /2   pi         \    -\/ 3  
-sin|- + -- - 2*pi*n| >= -------
    \5   3          /       2

pero
                           ___ 
    /2   pi         \   -\/ 3  
-sin|- + -- - 2*pi*n| < -------
    \5   3          /      2

Entonces
x≤πn2−π12x \leq \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥πn2−π12∧x≤πn2+π3x \geq \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12} \wedge x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{3}
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-80-60-40-20204060802-2
Respuesta rápida [src] 
  /   /             pi\     /5*pi            pi\\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x <= --||
  \   \             3 /     \ 12             2 //
(0≤x∧x≤π3)∨(5π12≤x∧x≤π2)\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{3}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{12} \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{2}\right) 
((0 <= x)∧(x <= pi/3))∨((5*pi/12 <= x)∧(x <= pi/2))
Respuesta rápida 2 [src] 
    pi     5*pi  pi 
[0, --] U [----, --]
    3       12   2
x in [0,π3]∪[5π12,π2]x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right] 
x in Union(Interval(0, pi/3), Interval(5*pi/12, pi/2))
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