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Resolver desigualdades/ (log((2*x+1)/x)/log(5))*sqrt(x^4-9*x^2+8)<=0

(log((2*x+1)/x)/log(5))*sqrt(x^4-9*x^2+8)<=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   /2*x + 1\                        
log|-------|    _______________     
   \   x   /   /  4      2          
------------*\/  x  - 9*x  + 8  <= 0
   log(5)
log⁡(2x+1x)log⁡(5)(x4−9x2)+8≤0\frac{\log{\left(\frac{2 x + 1}{x} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} \sqrt{\left(x^{4} - 9 x^{2}\right) + 8} \leq 0 
(log((2*x + 1)/x)/log(5))*sqrt(x^4 - 9*x^2 + 8) <= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
log⁡(2x+1x)log⁡(5)(x4−9x2)+8≤0\frac{\log{\left(\frac{2 x + 1}{x} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} \sqrt{\left(x^{4} - 9 x^{2}\right) + 8} \leq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
log⁡(2x+1x)log⁡(5)(x4−9x2)+8=0\frac{\log{\left(\frac{2 x + 1}{x} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} \sqrt{\left(x^{4} - 9 x^{2}\right) + 8} = 0
Resolvemos:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x3=−22x_{3} = - 2 \sqrt{2}
x4=22x_{4} = 2 \sqrt{2}
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x3=−22x_{3} = - 2 \sqrt{2}
x4=22x_{4} = 2 \sqrt{2}
Las raíces dadas
x3=−22x_{3} = - 2 \sqrt{2}
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x4=22x_{4} = 2 \sqrt{2}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x3x_{0} \leq x_{3}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x3−110x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}
=
−22−110- 2 \sqrt{2} - \frac{1}{10}
=
−22−110- 2 \sqrt{2} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
log⁡(2x+1x)log⁡(5)(x4−9x2)+8≤0\frac{\log{\left(\frac{2 x + 1}{x} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} \sqrt{\left(x^{4} - 9 x^{2}\right) + 8} \leq 0
log⁡(2(−22−110)+1−22−110)log⁡(5)(−9(−22−110)2+(−22−110)4)+8≤0\frac{\log{\left(\frac{2 \left(- 2 \sqrt{2} - \frac{1}{10}\right) + 1}{- 2 \sqrt{2} - \frac{1}{10}} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} \sqrt{\left(- 9 \left(- 2 \sqrt{2} - \frac{1}{10}\right)^{2} + \left(- 2 \sqrt{2} - \frac{1}{10}\right)^{4}\right) + 8} \leq 0
     _____________________________________________    / 4       ___  \     
    /                     4                     2     | - - 4*\/ 2   |     
   /      /  1        ___\      /  1        ___\      | 5            |     
  /   8 + |- -- - 2*\/ 2 |  - 9*|- -- - 2*\/ 2 |  *log|--------------|     
\/        \  10          /      \  10          /      |  1        ___| <= 0
                                                      |- -- - 2*\/ 2 |     
                                                      \  10          /     
----------------------------------------------------------------------     
                                log(5)

pero
     _____________________________________________    / 4       ___  \     
    /                     4                     2     | - - 4*\/ 2   |     
   /      /  1        ___\      /  1        ___\      | 5            |     
  /   8 + |- -- - 2*\/ 2 |  - 9*|- -- - 2*\/ 2 |  *log|--------------|     
\/        \  10          /      \  10          /      |  1        ___| >= 0
                                                      |- -- - 2*\/ 2 |     
                                                      \  10          /     
----------------------------------------------------------------------     
                                log(5)

Entonces
x≤−22x \leq - 2 \sqrt{2}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥−22∧x≤−1x \geq - 2 \sqrt{2} \wedge x \leq -1
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x3      x1      x2      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≥−22∧x≤−1x \geq - 2 \sqrt{2} \wedge x \leq -1
x≥1∧x≤22x \geq 1 \wedge x \leq 2 \sqrt{2}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0123456-6-5-4-3-2-1-2525
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