Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
(x+1)*(x-9)>0
-
2-7x>0
-
(x-5)^2/(x-1)>0
-
-16/(x+2)^2-5>=0
-
Expresiones idénticas
- sin^2x-3sinxcosx+cos^2x< cero
- seno de al cuadrado x menos 3 seno de x coseno de x más coseno de al cuadrado x menos 0
- seno de al cuadrado x menos 3 seno de x coseno de x más coseno de al cuadrado x menos cero
- sin2x-3sinxcosx+cos2x<0
- sin²x-3sinxcosx+cos²x<0
- sin en el grado 2x-3sinxcosx+cos en el grado 2x<0
-
Expresiones semejantes
- sin^2x+3sinxcosx+cos^2x<0
- sin^2x-3sinxcosx-cos^2x<0
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sinx>-1
- sin(x)>1/2
- sin(x)>=1
- sin2x<1/2
- sin(x)<=sqrt(2)/2
- Coseno cos
- cos(x)>-sqrt(3)/2
- cos(x)<sqrt3/2
- cos(x)<sqrt(3)/2
- cosx≥√3/2
- cosx≥-√3/2
sin^2x-3sinxcosx+cos^2x<0 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 sin (x) - 3*sin(x)*cos(x) + cos (x) < 0
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} < 0$$
sin(x)^2 - 3*sin(x)*cos(x) + cos(x)^2 < 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} < 0$$
$$\left(- 3 \sin{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} \cos{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} + \sin^{2}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)}\right) + \cos^{2}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} < 0$$
pero
Entonces
$$x < - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} \wedge x < - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} \wedge x < - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)} \wedge x < 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + \cos^{2}{\left(x \right)} < 0$$
$$\left(- 3 \sin{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} \cos{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} + \sin^{2}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)}\right) + \cos^{2}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} < 0$$
/ / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\ / / ___________\\
| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
2|1 |3 \/ 5 \/ 6 *\/ 3 + \/ 5 || 2|1 |3 \/ 5 \/ 6 *\/ 3 + \/ 5 || |1 |3 \/ 5 \/ 6 *\/ 3 + \/ 5 || |1 |3 \/ 5 \/ 6 *\/ 3 + \/ 5 || < 0
cos |-- + 2*atan|- + ----- + --------------------|| + sin |-- + 2*atan|- + ----- + --------------------|| + 3*cos|-- + 2*atan|- + ----- + --------------------||*sin|-- + 2*atan|- + ----- + --------------------||
\10 \2 2 2 // \10 \2 2 2 // \10 \2 2 2 // \10 \2 2 2 // pero
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| | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ || | | ___ ___ / ___ ||
2|1 |3 \/ 5 \/ 6 *\/ 3 + \/ 5 || 2|1 |3 \/ 5 \/ 6 *\/ 3 + \/ 5 || |1 |3 \/ 5 \/ 6 *\/ 3 + \/ 5 || |1 |3 \/ 5 \/ 6 *\/ 3 + \/ 5 || > 0
cos |-- + 2*atan|- + ----- + --------------------|| + sin |-- + 2*atan|- + ----- + --------------------|| + 3*cos|-- + 2*atan|- + ----- + --------------------||*sin|-- + 2*atan|- + ----- + --------------------||
\10 \2 2 2 // \10 \2 2 2 // \10 \2 2 2 // \10 \2 2 2 // Entonces
$$x < - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} \wedge x < - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
_____ _____
/ \ / \
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x3 x2 x4 x1Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)} \wedge x < - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)} \wedge x < 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{5}}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ / / / / ___\\\ \ / / / / ___\\\ \ \ | | | | |2*\/ 5 ||| / ___________________________________________\| | | | |2*\/ 5 ||| / ___________________________________________\| | | | | |atan|-------||| | / / / ___\\ / / ___\\ || | | |atan|-------||| | / / / ___\\ / / ___\\ || | | | | | \ 5 /|| | / | |2*\/ 5 || | |2*\/ 5 || || | | | \ 5 /|| | / | |2*\/ 5 || | |2*\/ 5 || || | | | |cos|-------------|| | / |atan|-------|| |atan|-------|| || | |sin|-------------|| | / |atan|-------|| |atan|-------|| || | | | | \ 2 /| | / 2| \ 5 /| 2| \ 5 /| || | | \ 2 /| | / 2| \ 5 /| 2| \ 5 /| || | And|x < -I*|I*atan|------------------| + log| / cos |-------------| + sin |-------------| ||, -I*|I*atan|------------------| + log| / cos |-------------| + sin |-------------| || < x| | | | / / ___\\| \\/ \ 2 / \ 2 / /| | | / / ___\\| \\/ \ 2 / \ 2 / /| | | | | | |2*\/ 5 ||| | | | | |2*\/ 5 ||| | | | | | |atan|-------||| | | | |atan|-------||| | | | | | | \ 5 /|| | | | | \ 5 /|| | | | | |sin|-------------|| | | |cos|-------------|| | | \ \ \ \ 2 // / \ \ \ 2 // / /
$$x < - i \left(\log{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}}{2} \right)}} \right)} + i \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right) \wedge - i \left(\log{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}}{2} \right)}} \right)} + i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right) < x$$
(x < -i*(i*atan(cos(atan(2*sqrt(5)/5)/2)/sin(atan(2*sqrt(5)/5)/2)) + log(sqrt(cos(atan(2*sqrt(5)/5)/2)^2 + sin(atan(2*sqrt(5)/5)/2)^2))))∧(-i*(i*atan(sin(atan(2*sqrt(5)/5)/2)/cos(atan(2*sqrt(5)/5)/2)) + log(sqrt(cos(atan(2*sqrt(5)/5)/2)^2 + sin(atan(2*sqrt(5)/5)/2)^2))) < x)