2*cos(x)+sqrt(2)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \cos{\left(x \right)} + \sqrt{2} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \cos{\left(x \right)} + \sqrt{2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \cos{\left(x \right)} + \sqrt{2} = 0$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Transportemos sqrt(2) al miembro derecho de la ecuación

cambiando el signo de sqrt(2)

Obtenemos:
$$2 \cos{\left(x \right)} = - \sqrt{2}$$

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

La ecuación se convierte en
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
O
$$x = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{3 \pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \cos{\left(x \right)} + \sqrt{2} \geq 0$$
$$2 \cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4} \right)} + \sqrt{2} \geq 0$$

  ___        /  1    pi       \     
\/ 2  - 2*sin|- -- + -- + pi*n| >= 0
             \  10   4        /     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x \geq \pi n - \frac{\pi}{4}$$